http://humanidades-digitales.fhuce.edu.uy/files/original/27ffd02c0f2e6c1c79fea34fa97dbf6a.PDF 98b956dd4b2e86dd5d52a9b7e6a4eec1 PDF Text Text 9 - •[Z] ^ [T] H Mla,, \tjjM '[i] uia^ -i^ 'M3pBqja^M csn as q •uiQ uoa mais^P,, [^] ja^ua^ '•^ tMsa¡n3ijaj sajquiasua,^ buib[[ soj [\] i 'N[ '[1] HOIFlJIi[ "O '[I] íI^BIíD 'V 'IEUÍÍ lB 'BJJBj8o!iqíq BI U3 aSB?A (x) () X9 (1 ^ = X<2 íl :^onp9p ^s sauopB^j sequi aa • Tq n b ^ x<i n i :pup ^p'q^T9 n ^^^1 n ^ ^ Tq ¡"] q oaa^ • ^q p| q ^ iq p] o ejjnsaj ' q ^ o oraoo : U3 *(/" B BOt[duii (^ anb i9 íi 9 ^ t n j A q <^ o íg1 — '(vduvijniuis vsu^aut vuojpiiow) — Y/" '.upptpuoo ^ ajvamha iipiaisodoud vj 'opvjnaijau ojuníuoo opo) u^ — 'VíV3}103 -18 \9 ua BpBuSisuoa v\ sa — a (J (q [^ o) ^ (a [J q) ["] :pjtaua3 B}xira BAi^BioosB-inias Bun sa anb— B^^a b aiua^BAinba pBpaidoj^ •Bjaoa^ v\ ua aiuBaaodrai pdsd suadinasap anb (^ pBpaidoíd ba -ana Bun auaxiqo as 'sisa^odiq B[ ua BpBiunds BAiiau^saj aoiaipuoa B[ ap uoiDB^ai B)sa aiuB apupsaad as i 'pui^apaQ ap sBanianj^sa sb^ b jBzijaioBJBD a^nnjad BSJdAnoa uoxoBpj bj 'sisaiodrq Btnsim B^ uo^ •^ y (9 fl ) ^ (a U 9) íl v aI(írana as 'a ^ o is :Bsaadxa anb jbio -adsa bjxiui BApBioosB-inias pBpaidojd b^ BoijijaA as ( (T) o{ ua anb soraaaBpjooa^[ — %\ so.juníucr) so| IZ2OJ^MVJM1 V SO7UVD �Además es ai ^| t ^ a f\ a. Pero a [\ ai ^ ai, y a f| ai S^ ^ t ^] ti ^ b . Luego a f] ai ^ ai f) t. Por lo tanto: Ahora bien: de la ley de absorción A) y de la proposición (a ^\ c) \J y (t f] c) ^ (a y t) [) c implicada por A), se deduce: ti y ai = ti y [ai u (^ n j)] = ^fei n i) u [^^i n (fe n ^í y esta última expresión, en virtud de la segunda relación de la hi pótesis de J) y de la idempotencia de la multiplicación, incluye a (ti f] ai) y (a y ai) = (ti [ja) y aiPero, según (a), la expresión anterior es igual a /lo z. i i Oí) z. i n ai ^> ii ai) \ InI ai .= ai .-^: / la i \^/'II^ *^^ vV/' I I en virtud de la monotonía del producto y A). Como se probó que 61 y ai ^ ai, y es tx y ai "^ ai, resulta 61 y ai = ai, lo que implica la tesis. Este teorema directo también pudo demostrarse así: De A) y el hecho de que A) implique (o (J c) • [] (b \j c) ^ ^ (a y b) y c, se deduce: ti U ai = [ti y (ti U )] U 1 = (^^i U 1) D [(ti U a) U ai] . Pero esta expresión, en virtud de la primera relación de la hipótesis y la tautología de la suma, está incluida en: (tx u ai) y (ti y 6) = tx y (ai y t) ^ ti y (a y ai) (tener en cuenta (<^) ). De acuerdo a la segunda relación de la hipótesis, según A) se cumple• ¡ ;.•^•' ti U (af) ai) ^ ti y (t y ti) = ti. Habiéndose mostrado que ti y ai ^ ti, como ti y ai ^ ti, resulta ti y ai = ti. Recíproco. — Probaremos que J) ~^ A). En efecto: sea [(c U ) y t] U (c y a) = x [(c u t) y ] y (C y t) = y - 6 - �ya que c f| a ^ [(c (J b) f| o] [} (c f| b) (tener en cuenta &i) ). Pero c f| 6 $^ c \j b, de donde: x n y = (c n a) u ^ (c u) n ^ n (u ^) n [u (^ n *on= (^ n) u ^b n (c u) n t u (^n ^n} = (n o in^ n [u (^ n ^)])-= (c n) u (^ n o u (c n^^) (se usó A) y ^i) ). En virtud de (y), y, teniendo en cuenta (e) y esta última rela ción, resulta: (c (J a) f| (b [} a) f| (c |J 6) = (c f| ) U (b n) u (c n ^). Ahora bien: como (a [} b) f| c = c f| (a |J 6) f| (6 (J c) f| (c [J a), en virtud de A), esta última expresión es igual a n [(n^^) u (^ n ^ u m )i ^ Pero (c f| a) (J (c f| o f| 6) ^ a. Luego, en virtud de Si) y teniendo en cuenta (tq), resulta (u b) n c = (c nn o u ^(^^ n c^ u(^íi)ku (^ ("I c) cumpliéndose A). Corolario. — La condición necesaria y suficiente para que un conjunto reticulado sea distributivo es que cumpla la propiedad J). 2. — La condición J) del número anterior, con un leve retoque, permite caracterizar las estructuras de Dedekind, como indica el si guiente TEOREMA. — La condición necesaria y suficiente para que un conjunto reticulado sea una estructura de Dedekind es que tenga la siguiente propiedad: [ o (J i ^ 6 [J 6i y O! ^ 6i, entonces es ai ^ &i. /,). — Si a ^ 6, { { a f| i ^ b f] ^i Demostración. — Directo. — Veamos que en una estructura de Dedekind se cumple Ji). En efecto: ai = ai [] (a (J ai) ^^ ai f| (b U f>i) en virtud de la ley de absorción A) y de la hipótesis. Pero, por tratarse de una estructura de Dedekind, y verificarse 0i ^ ^i resulta: i n (& u ^o ^ ^i u (& n o _ 8 _ �/ •o=zx\JxAq=xf\x anb pj a? o^uainap opoj sa 'opBpnajiaj ojunfuoa un ua '(9 ') ojEAja^u; pp opadsaa 3; ap pjnjBu oiuauíajdiuo^-ojao p anb oinoa jsb 'ojanpojd un ap A Buins Bun ap oiJB^uauís^duioa p uaaaipj as sauopisodoad scisa anb souiEpaoaajj (T) • ^q ^ x —• (¿^ o *x ^ ^o —: *(é^ :sisoioáii[ svj ua w u (^ ntw) = (x<^ u ^) nx :vajftuaa as 4 i^ ^ ^ jC (q iv) ua sotuawajdwoa uauaij x Á, xq * ^v is (un8uoj\[ a(j ap sa^aj svj ap vun vjdtuno X vooamn ñas (q 'n) ua puninu uopm 'Uatua\dxuoo-ono n\ anb \n% opnjnonau oiunfuoa un u^ — ' *(x) ub2joj^[ ^q ap saXaj s^\ A (lf A (f sauoiaip -uoa 8B^ aajua sa^uajsixa sanoiae^j sb^ 'bjoijb 'souiaaipuy — • ' A ^ x ^(^ ap ua 'auaiiqo as '(g) A (^) i(\) eauoiaBpi sb^ B^nana ua opuatua^ Bifnsai 'ajuainSisuoa ap *.í '^|J q^a (J q sa saauolu3 -(a [J q) f| n ^ o [} q A q ^ a (J q oíaj •( (y ^Bsn) a y ^ = a [) (q f] o) (J^ = *|Jq :aqjBd bjjo *n9 • A f~j q = ["] [(^ U í) f! 9] = ® fl 9 au^í^ as '(V a :apuop ap4a|J (^ p| ) ^ t? pj ^ X ^ ^ p| ^ :sBuiapy (I) ^<* : o jubi 01 jo^ • a y ^ ^ a: oSan-^ -a[Jq^a^ay q ^ q ^ q [] o ^ ac Bi^nsaj *^a^o^^ y o 0U103 mA = (a [J ^) ar = ay (^ f] ) sotuBSBq A a ^ sag — 'oaojdiaa^ •(y ap pmiíA ua = (q[i xq) (]xq^ (T U ) D T9 ^ (Xv U ^) íl T<? aanpap as * t^ [J q �Demostración. - ler. caso. - ai ^ x. Se verifica ai \J {xf fl bi) = = i u ^^ n ^ u i) n fcii y que ^ = ' n (^ u ^. En efecto: para probar ésto veamos que x fl a\ fl {xf \J a^^ = a por ser {xf \J ai)' = x fl a'i y, además, que ^: |J [a'i f] (^;' y ai)] =-6 . Esto último se puede mostrar así: x \J [a'i fl I^' U ai)] ^ 6 evi dentemente; pero a'i ^ xf y x'flai^ x/. Luego a'if) (V|Jai) ^ x\ de donde x (J [a'i f| {xf \] ax) ] ^ * [) xf. = b . Ahora bien: la expresión ai (J [a'i [] (^^ [J ai) f] bi] es igual a {xf [) ai) fl bi para lo cual bastará probar que a'i fl [ai \J (x fl a'i) [J b'i] es el complemento de {xf (J ai) fl bi. Veamos, entonces, que {xf (J Ol) f| &i U ^'i íl ti U (* (1 a'i) U ^^'il (^ = h • El primer miembro es evidentemente ^ b . Pasemos a la inclusión inversa: empecemos por observar que siendo x f\ a\ ^ a'i y b'i ^ a'i resulta: (* f| ri) U b'x ^ a'i . Como ai [) {x f| a\) [} b\ ^ (* fl '^ U ^^'i , 8e ^educe: a\ f| [i U (* (1 '0 U ^'il ^ (x U a'i) f| b'i. De consiguiente: [(*' \j ax) f] ^i] U ^' fl ri u (* n ri) u Vr\\^ [{xf u o n b^u (* n ^ u fc/iPero, siendo {x [) a'i) [J b'i = [{xf \] ai) f) bi]', resulta la última expresión igual a b .s Por otra parte es {xf [} ai) f| b^ f| a'i fl [ax [J (* f| a'i) [} b'i] = a dado que [{x' [¡ ai) fl by fl a\Y = (x fl a'i) U ^^'i U i • 2^ caso. — * ^ bi. Se cumple (ai [j xf) fl bi = [ai (J ^'i U (^i D ^)] íl^i dado que ^ = b't |J (b^ f) ^). Para probar esto último mostremos que x (J b'i \J {bi fl x') = b y x fl [b'i [J (bi f| xf)] = a. La primera relación es evidente por ser {x [) b'i)' ^ x' [^ bi. En cuanto a la segunda: es claro que x fl [b'i (J (bi [] x') ] ^ a . Veamos la inclusión contraria: b'i ^ ^ y bi [] ^^ ^ xf ; luego b'i U (bi f| xf) ^ xf . De consiguiente: •* f| [b'i (j (bx f| *')] ^ ^ x fl xf = a. Ahora bien: la expresión [ai (J b'i \J {bx fl xf)] fl bi es igual a ai \J (bi [] xf). Para mostrar ello veremos que [ai' fl bi fl fl {b\ \j x) ] [J b'i es el complemento de ai \j {bi fl xf).Y en efecto: i u (^i n *) u [^i n 'i n (^ u *)] u fc/i = ^^ y b'i U ai U (bi fl xf) ^ [bi fl a\ fl {b\ U *)]'. Además se cum ple [i y (bi n xfn fl ^[bi n 'i n (^ u ^)i u ^i- =^do que el primer miembro es ^ a. Bastará probar que vale tam bién la inclusión inversa. - 10 - �- TI - Buiaaoai p ua opBjpajBsap p oSopuB ojuatnnSjB uoa 'B^psaj 'oaiun sa paniBU ^uoo;io oiuaiua[duioa p opAaajui-qns opoj ua tg • © = ^, U i = ^ U V (J A" =: ^ t(v^ u i9) n] u xp u ^•=x^® u (v? n *) u x<z u ^ :aanpap as aiuapaaaad Biuag pp 'oaaj • ^p [j (x^q [\ x) [J ^q ^j X = = t^ ú (x/z n ^) u ^9nb ^s^n<i = xp u (^z n *) u ^s -q ^ \q n ^ = v^ n ^ n ^ = e^^ n u ^] n ^ = [(^ n ^) u (x^ n x)] n ^ = t^ u (x^^ n p| i p| A =r [x^© y (xyq p] ^)] p] A :B^psaj 'ajuapaaajd p opuBa^dB 'anb bA q ^ \^p y (x^q p] a:)] p] A :oiaap ug *(^ ') na X/D U (X^^ fl *") aP ^^!1131113!^11100 I3 ^ 83 saauojua '(X^ 'x^ ua a; ap oi^ania^duioa p sa A ts iBaijoaA as anb op^p oaran sa (xq * \n) ua a? ap oiuauia[duioa p oaa^ *(q ') ua ojuatuapiuoa uauati A ("] ar = xq A A y x = x raanpap as '(q ') ua ojuaraa^duioa uauai) A ouioa a; oiubi anb B^jusaj '(Xq ' iv) ua A oiuatua^dtuoa a; Jauaj p ouio^ ap 'A A p] a; = ^X) f] ^{pc) = ~ AA U ^^) :BDíJíJaA 3S 4 ^A f] í* ~ Á^ U x) ís :3luainBSopuy •/ n ^ = ^L(^ n'^)] = = y(A U *) apuop ap ' A y x — t(X) [} ,(^c) = ^(^ f] ^) raua^ as ' X y ya; = y(A pl a;) ís rojaaja ug *bjio b^ BaijiaaA uaiquiBj saauo^ua 'ubSjoj^ 3q ap saAa[ sb^ ap Bun a^duina A BaoAiun sa (q ') ua p.i -njBu uppB^uauía^duioa-oiJO b^ ig — 'oiaajTQ — 'uopBjjsouiaQ '(q tv) ua ud8joj\¡ aq ap saXaj svj ap vun vjdwna anb sa (q *n) ua ([ upio -tpuoo u\ anbifiuaa pau vj anb vjdü ajuataifns X mxosaoau upioipuoa n\ saouoiua '(q *v) ua ooiun pominu oiuaiuajdwoa-oiao sa X auap (Xq 'i^ ojvaaa)wi-qns un n otaadsaa p^n^ou oiuatuajdiuoa-ojuo auap anb o%uauia\a vpno (q (n) ojnauajut ¡a ua jg — g VIV3^03X •(q ') opAja^uí p ua (x^ o (/* san -optpuoa sb^ uB^duina anb sopB|naiiaj sojunfuoa ua 'a^uaraaiuapiAo 'as ^oiaaiuB op^punua pp B^nuuoj Bg — '{x y xq) p| iv = í[{x p| xA) y x^] X9S ^Od b pnSí sa uoisaadxa Buirqn Bisa ^ ' (x p| x^q) y \p y [ (^ y iq) n x]'^ úi* n vz) íj'x^ u x<z] h x^ u t(^ u x^) nx] apuop ap ^(a; f| xyq) y \v ^ [ (* f| \q) [] \v \j xq] ^ xyq tBipsaa '(* p| \q) \] \n ^ x q A (a; f| xyq) y ip ^ ^ (x íl VZ) U X^D U X^ opuais anb soraaAaasqo oj[p bjb^ �del N 1, que el conjunto reticulado, constituido por el intervalo (a, b) cumple la condición J). Recíproco. — Si el conjunto reticulado satisface J) en el inter valo (a, b), y x e y tienen orto-complementos naturales xf e y' en (a, 6), entonces existe (x (J y)' y es igual a x' f| y . En efecto: (* U y) U (^ fl /) = (* U y U ^) fl (* U y U /) = ^ (6 U y) fl (^ U *) = b n *> = b, y (x U y) f| (^ (1 /) = = (^ n ^ n ^) u (y n ^ n /) = < n /) u (n ^o = = o U a = a. TEOREMA 2. — Si en el intervalo (a, b), cada elemento tiene un orto-complemento natural único, entonces la condición necesaria y suficiente para que el conjunto reticulado verifique la condición J) en (a, b) es que cumpla una de las leyes de De Morgan en (a, b). Demostración. — Directo. — Por lo observado en el teorema an terior, la orto-complementación cumple las dos leyes de De Morgan. Vamos a probar que cada elemento x tiene orto-complemento natural respecto a cada sub-intervalo (ai, &i) que lo contenga. En efecto: mostremos que y = {b\ ^\ xf) \] a\ es un orto-complemento de x en (i,fei) i1)Para eso veamos que x (J {xf f) b^) [} ax = bi y x fj [(xf (~| fei) (J ai] = ai. La primera fórmula se prueba teniendo en cuenta que x D {x! n ^i) = (* u xf) n foi =b n fei =bi en virtud dei LemaDe modo que x (J {xf (J fei) (J ai ^ 6] \J ai ^ b^. En cuanto a la segunda: x f] [{xf f] fei) |J ax] = ^ f) {x [} b\) (] f| [{xf f| fei) f| ai]. Pero ai ^ x \J b\. Entonces, de acuerdo a la citada proposición, la última expresión es igual a x f| \[{x \J b\) f| n xf n 6ii u íi- = * n (u ^ = * n i = i • También se pudo ver que (^^ (J ai) f| 6i es complemento ortogo nal de x respecto de (ai, 6X). En efecto: x (J [(^ [J i) f| í>i] = = x u (* n '^ u u^ u i) n ^ = ^ u ^(* n 'i) u ^ u *i] n fei}^ = * u (b n ^^i) = * u fci = &i (ge usó ia iey A) y el Lema). Además: x f| (^ (J ax) f| 6i = [(* f| xf) [} aí] f) ¿i = (o y ai) f| 6i = ai f| bi = ai (Se usó el Lema). Más bre vemente: las dos expresiones del orto-complemento relativo a (ai, fei) soü iguales en virtud del Lema. Resulta, pues, que cada x de cualquier sub-intervalo (ai, fei) tiene complemento ortogonal natural respecto de (ai, fei) y también respec- Los acentos corresponden a orto-complementos respecto de (a, b). - 12 - �- SI '(\q i T-v) ap ojaadsai (lq * lv) sojvcuajut-qns soj ap oun vpva ap ojuaiuaja opot ap pamtou o^uatuajdiuoo-otuo ja ooiun sa X ajstxa sao -uotua 'uv8jloj\[ aQ ap saXaj svj ap vun ajduino upiavjuawajdiuoa msa X íso%uauiaja sns ap oun vpvo ap (q ín) ua jv^uívu oiuaiuajdtuoa-ojj.o ja ooiun sa X aisixa (q 'v) ojvauaiui J& ^a i — • x = v n * = (^ u /) n ^ = ^ u (/ n 4 X Jiod ^q X x Á x lod ^v Jiniíjsns p Bin^^ \a u^ — * •X ^ x anb oaBp sa t x =. (^X f\ x) (J ^ig — -o^o^jiQ •u^io^j^soraaQ 'x = (^C [^] x) [J X :anb sa X ^ x avib Bj^d ajuapijns Á BiaBsaoau uopipuoD b[ :bdiji^9a as '(^ *) ua soiuauía^duioo uauaii X a x X ub^oj\[ aQ ap sa^a^ sb[ ap Bun a[d -rana (q ') ua paniBU uptaB^uauía^duioa-oiJO B[ ig — • oijvjouo^ • ¿ = ¿ y q = x y {pe y x) = (x[¡ ^ y x :Bpan) 'X = xq ^ x = ^v aau\\ as Buia1^ \a ug — •oaojdtoa^ •({BIAUj) X ^ X <• X ^ (pe \] X) p] ar tg — -oioaaiQ — •uoiOBJisouiaQ ^ = (^* u ^) n ^ :anb sa ^^ ^ anb Bj^d aiuaiaijns X BiiBsaoau uoioTpuoa v\ -.tboijiíoa as t(q ') ua so^uauíajduioa uauaii X a x X ubSjoj^[ 3q ap sa^a[ sb^ ap Bun a^d -nina (q *) ua panjBu uoiaB^uauia^duioa-ojJO b^ tg — ' :aanpap as Btuag pQ — ' •Buiag pp 'ajuauíBSiaaad 'pn^jtA ua sapnSí uos (q *) ua x ap ojuauia[duioa-o^^O pp sauoisaad -xa sop sb^ anb JBAjasqo opis Bjaiqnq aAajq suui anb ojsp sg •(Buiag p JBsn b oiApA as) o = ipo [j i = ^po y x [J X ^ [(,u *) n] u ^=[(t/ u ^> n t^9 nx<^] u ^ = y^ u *) n x^i u i9 u ^ = [(^ u *) n x^i u ^ s?ra^pv •(Buiag p osn as) q •=. ^tq f\ ^q = x^^ fj a; (") A! = =x^ n t^ u (i<v n x^)í n ^ = ^ n (x/^ u *) nx n ^ = = (^^ y ^) pj ^q y ^ :isb ^q y ^^ y x) ap (q ') ua o^uauía^dnioa -o^^o un sa (Tq ' T) ap o^aadsaj x ap X panjBU puoSoiao -uioa p anb ^\ Biuajoai p ua 'jBqoíd opnd as uaiquiB^ — mj •aotjajuB Buiajoai p ua ouioa Bqanad as Baoadraaj • (f a^duina (q tv) o^unfuoa p 'aoija^uB Buiajoa^ pp pnjjiA ua 'saauojug • (q ^) ap oj �Demostración. — Esta proposición es consecuencia de lo expuesto en los teoremas 1 y 2 de este número. TEOREMA 4. — En un conjunto reticulado que cumpla la con dición Jx) en ^o, b)t si x tiene orto-complemento natural en (a, b ), entonces x tiene orto-complemento natural respecto de cualquier subintervalo (a\, b\) al que pertenezca. Demostración. — Probaremos que y = (fei f| xab) \j ai (^) es orto-complemento de x en (a, bi). En efecto: x (J (&i f| xab) \J ai = = x U (bi i] xba) = (x U *•) [)bi = b ^]bi = bi (se usó ^ — v. n? 1). Análogamente: x [} [(fei f| *ab) U i] = (* íl 6i fl "*) U i = = (bi f| a) (J ai = a (J i = i (se usó Si) ). Nota. — Otra expresión del complemento de x respecto de (o^, bi) esy = bi f| (xab [} ai) (usar S^) ). . TEOREMA 5. — En un conjunto reticulado que cumpla la con dición Ji) en (a, b), si x tiene orto- complemento natural en el subintervalo (ai, bi) de ^a, b)t entonces x tiene orto-complemento na tural en (a, b) siempre que ai y bi tengan orto-complementos en (a, b). Demostración. — Probaremos que (xaibl (J biab) (| aiab es ortocomplemento de x en (a, b). En efecto: x [) [(x^ [j bib) f) ia&] = x U i U ^ia6 fl íl (x^^ U bib)] = x [) [(ai (J aib) f] * U ^^iab)] = * U ^ax^^x y fola& _ fcl y ^^la6 _ ^ ^ Además: x f| (^6l |J bi6) f| aia6 = ^ f| bt f| (^0^61 (J b^6) n ai^> = ^ n ^bi n bxa6) u *] n a!*^ = * n ^tti61 n ^ab^ = ai f| O!aB = o . Nota. — Otra expresión del complemento de x respecto de (a, b) es bjab y (;caxix f| ^6)^ En efecto: x [} [UaiBl f| aiaB) U biaB] = = x u ox u (^aibi n iab) u foiab = ^u [(i u iao) n *oibii u |J biab = x (J ^OlBl [j 6iaB = b IJ &!aB = fe; y * f| [^ttlBl f| O!06) U bi*b] = x n bi n [(^ai61 n ^ab) u ^b] = ^ n[(^oibi n iab) u (biab [\bi)]=x(] x^ n iab=i n iab =• TEOREMA 6. — Si en el intervalo (a, b) un conjunto reticulado cumple la condición Ji) y cada uno de sus elementos tiene un único (l) x ab es e\ orto-complemento natural de * en (a, b). - U - �- 91 •(xq ' ^) b oAiiB^j ja oaiun uaiqiuB} Bjjnsaj 'oatun sa ajsa X ' (q ') ua qj^v (J (qvlq f) x) ap sa o[ '91A as unSas 'oiuaina^dmoa-oi-io a^sa ouio^ '{lq ' Xa) U9 [BjniBu oiuama[duioa-o}JO un auai) (lq ' lv) BJamb^na o{BAja}ui-qns un ap ojuauíap Bpsa 'sai -uapaaaad sojuauínSjB s<q ua opBsajdxa o{ joj — 'uptaEJisouiaQ 'VUDlj -ooq vuqaSjv un sa (q iv) ap ojvauatm-qns vpvo saouoiua i(q ín) ua jvuniuu ojuawajdiuoo-oi^O ooiun un auaij (q in) ap otuaiuaja vpvo Á 'uvS^oj^^ a(j ap saXaj svj ap vun o (^[ vj o *([ uppipuoo / ajdiuno opvpioiiai onmiuoo un (q tv) ojva^ajui ^a ua ?^ — '¿ aQ ap sa^a^ sop sb[ ap Bun anbxjiJaA as anb ap oqa -aq pe Á (q ^ b ajuafBAinba sa (f uoiaipuoa B[ '(q *o) O[BAjajui [a opoi ua BaoAjun A ajuaisixa upia^jado buii sa ^jnjBu upiaBjuauía^dtuoa -oi#o B^ anb so[ ua sopBjnaijaj so^unfuoa so^ u^ — •oij.vjoj.o'j ruotaisodojd aiuaxnSrs b[ aanpap as joiaa^uB o\ aQ '(lf Bl B ^a^duii aiduiais (f upraipuoa B[ anb ojb¡3 s^ — #^ vjo\¡ •sauoisaadxa sop sns ap pBp[Bngi b^ Bjpisaj apuop ap ' qDlq (] {qvlv {] x) ap (q "v) ua ojuauía^duioa-ojjo sa X anb 'ajuBfamas o;uauin.^.iB Á sfSo[bub sauoiOB^ou uoa 'jBqo^d apand as uaiqmcjL — •/• 'vjo^ ' (f uoiaipuoa b[ a[dmna as anb apuajd -sap as inbB aQ ' (lq ' lv) o^BAJajui-qns jo ua BaoAjun uaiqmBi uqnsa. 'BaoAiun sa (q ') ua upiaBjuama^duioa-o^JO b¡ ouioa :uaiq Baoqy • = QUT u x = x y qviv u x = (v n *) u ^v u ^ = iuviq n i9) n *] u ^ u • :b ^bii^i uoisaadxa Bmiqn bj Bqnsaj '(ig unáas 'oSan^ #lq vi u (q.1^ n *) u ^ u ^ = vx u (q1^ n *) u ^ • ^ = <2^ í'l lq = q^x9 p| ^ fj X = [{qvxq f] x) U (líí fl l)] fl ^ B F^i sa umsaadxa Bmi^|n b^ (ig ap pnjaiA ua ' qD^q [) x ^ x orao^ -[qD^o (J (QD^q p] ^)] nxn n^ = [^x u ux9 n ^)] nx ^d • = ^t u (i9 n ^^ |j X a q = [qoi [J (Q0^q f] ^)] D ^ :jBCIojd 3nI) somajpua^ • i ^ x y ^ a ^q — x y ^ anb somaqes ro^aaja u^ •(q ') ua QOi [J (qDTq p| a;) ap ojuama[dmoa-ojjo un sa X anb somajjsoj^ *(íq ' i) ap ojaadsaj x ap ojuama^dmoa-oijo un X Bag •Bazauai^ad anb ^ (lq í^v) sopAjajui-qns sns ap BjainbfEna ap o^aadsaa ^bjiiibu oiuama^duioa-oi^o auaij (q ') ap x o^uauía^ Bp^a i^ Buiajoai ^p pnjjtA u^ — "uoiaBJjsouiaQ •fq (v) ua ([ upioipuoo v¡ ajdiuno ojunfuoo ja saouoiua (q 'vj ua jvun^vu ojuaiuajdwoo-ojjo �RESUME "Sur les ensembles réticulés" Prof. Carlos A. Infantozzi Dans cet article on commence par démontrer que la condition: J). — Si a ^ b et ( a \j ai ^ fe [} fei , alors onaat^í)i, I a fl' 1 ^ b fl ^>i est equivalente á la propriété: o [J (6 f| c) ^ (a U fe) f) c. On considere aprés la condition: JJ. — Si a ^ fe, f o U a! ^ fe |J fei ] i n bn eí ax ^ fcx alors j on a ai ^ fei, et on montre qu'elle est equivalente á la propriété: a ^ c implique u (*> nc) ^ (u ^) ncDe cette fa^on on donne des caractérisation3 de deux sorte3 tres importantes d'ensembles réticulés: les structures de Dedekind et les treillis distributifs. On analyse ensuite les rapport3 des propriétés J) et J\) d'une part avec une quelconque des loi^ de De Morgan sur la complémentation de l'autre, et on trouve que la propriété J) es equivalente á une de ees lois, sous quelques restrictions, en étudiant aussi les rapports entre l'existence et l'unicité de la ortho-complémentation dans un intervalle et dans un sous intervalle au moyen d'une de ees lois ou de la condition Ji). On passe alors á la considération des cas oü la propriété Ji) implique celle que nous avons désignée J), et, finalement, on demontre que l'existence et l'unicité de l'ortbo-complément dans un intervalle (a, fe) permettent affirmer l'équivalence d'une quelconque des lois précitées aux conditions J) ou Ji), en méme temps qu'on met en évidence que tous les sous-intervalle3 de (a, fe) sont des algebres booliennes. Requ le 6 déc. 1957. - 16 - �"91 '¿ "JM '(I) ISO í íiapB^y-8dB3isn^pi^ a^pjo^^ jap ab Jji2jn jaSgpuBqAy •Mgaa¡jjB^ aapo apuBqja^ asiAva^ J^q^^,, — "[I] — "uiajo^jg * "60 '(¿) ^un8¡uiaja jap iqauaqsaaqBf '\i uua38Jjua3ejpunj^) nz uaSun^jauíag,, — "819 '(I) "P¡qi " -ja^ aqasjapqjqag-ajoog Jaq^ uaSunqansjaiun ^^^^í^,, — '[] '8^S '(I) ^{IBiuaqiKj^ aqasjnaQ -^apuBqja^ aqasjapojqag-a^oog,, — •[$] "192 '(If) 1J^H^SIPZ aqasiiBraaq^Bj^ *t.apuBqja^ aAijnqiJjsig pun aqaspui5[apagM — •[] "96S '(III) -uy aqasj^Braaq{üj\[ '^apuBqaa^ jap auoaqx ^p 2nzpuru^),, "¿22 '(6) -IJ82 aq^síiBiuaqiBj^ ^apuBqja^ Jap aijoaqx ^nz a2Bj^agM "92 'II '83I-13^. ^i^muiBsa^) '\i '() ua^Buuy aqaspcm "Maddnj2jBnQ ajSnazaa u[npoj\[ jajp uoa aip Jaq(j,, — "[^] 01 'IIIAXX HW 'II ' "8 "¿681 8i3AvsunBjg -a^qasqaoH uaqasiuqaax J^p ^juqasisa^) uauiBSUiauía^ uai?scu8 ajq; qajnp ua^qe^ uoa ua2un2a[J32 J3q(J,, [I] 'Puí5l9P8Q 'H "t6I 8!J[Bc[ "8aJiBjisjaAiuQ sassajg "apip "n3 UOÍJ38HO^ 'i "J *ttsaujapop\[ ajqaSjy ja anbijauíqjuy,, — •[];] — ^jajajEq;^ *y "66I "S!JBI "aíD l uuBraaaH -9^8 óM -saiPHJsnp -uj ja sanbijijuaiog sajgBnjay *Msa^quiasug sap aiJoaqx,, — "[I] — q^Bqjnog -j^[ 'Sf'ól "A "N '^J^pog ^aijBuiaqjBj\[ ueaiaaiuy "AXX "IA •suoijBagqng ranmbogo^ ^^Joaqx 3íUBl ^ "[I] — "Jíoq^Jig 'O � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Revista de la Facultad de Humanidades y Ciencias Creator An entity primarily responsible for making the resource Facultad de Humanidades y Ciencias Publisher An entity responsible for making the resource available Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 1947-1989 Rights Information about rights held in and over the resource Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Language A language of the resource Español Type The nature or genre of the resource Publicación periódica Contributor An entity responsible for making contributions to the resource Lic. Pablo Darriulat Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Sobre los Conjuntos Reticulados Creator An entity primarily responsible for making the resource INFANTOZZI, Carlos A. Source A related resource from which the described resource is derived Revista de la Facultad de Humanidades y Ciencias /Universidad de la República. Montevideo : FHC, UR , Agosto 1959, Nº 17 : p. 5-17 Publisher An entity responsible for making the resource available Facultad de Humanidades y Ciencias Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 1959 Rights Information about rights held in and over the resource Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Language A language of the resource Español Type The nature or genre of the resource Publicación Periódica CONJUNTOS RETICULADOS SISTEMAS RETICULARES