http://humanidades-digitales.fhuce.edu.uy/files/original/c87fcb3f06dec362d52268d119cca863.PDF be4ce5d967c62ec55ddc7997b5db5a4f PDF Text Text — ios — *Sf •* '(S6I) 6S "^S UV 8Hl Io uPaIlnH Ia na opBoijqnd ugransaj íXjaioog |E.ii}Buii>qicj^ uejuauíy B[ ap 'Z6t ^P a-iqn^ao '"111103 'u^abjj msj^ ap uoiunaa b[ b opsiuasaad anj ofeqBjj ajs^ (^) •j; uoa aiqujnsuauíuoa opopad ap 'ajjnao ajuara -puuou otnoa 'uBijas 'sBpnjirape ap osBa ua 'o s^aipoijad sauoianps ou paj Buiajsis p saauo)ua ^ sapBpnuapi SBSa ap Bjoapad b^ a^qisod B^as Baunu oaxsjj Buiajsts un u^ *^ uoiaunj b^ aqap anb sapBpijuapi SBjaaia ap buijoj b^ uauan Baznpojd as uoiisana ua ouauíouaj p anb BJBd [oí] ua SBpB^pq sauopipuoa sb[ 'oiaap u^ "asjBjSo^ Biaipnd soawoai sopBi[nsaj[ so\ ap Bjaa^ad Baisjj uoiaBzipijajBui Bun anb 'o^iBquia uis '[iraisojaA oaod s^ spuanaajj ap Buja^p aiuaijjoa ap ajuanj Bun b opBjaauoa aiuain BUBuopunj anb pBjun[OA b a^qBiJBA Bpuanoajj ap sauoxaB^iaso ap JopBjauaS un Bjjpuajqo as 'soapjaap sojmajp ap oipaui aod 'cqduiafa jod 'asJBzxpiaa^Bui UBdaipnd SBUia^sis sapj is 'anb opom ap j^ ap BpBu BJBd apuadap ou Á Buia^sxs pp soujajui soaiauíBJBd ap ajuauíBnunuoa apuadap j; 'sosBa soqanuí u^ 'X/l ^pBJ^ua ap Biauana -ajj b^ ap puopBj O^dij[nui un sa ou tjJ/\ Bpips ap BpuanaaJj B[ 'pBptpuij Bjsa uoa aiuauíaiuaijjoa sopBzq^n SBtua^sis so^ ua ajjnao anb oí ap oijbjiuoo p 'anb ua Bpuanaajj ap JoppjaAuoa un omoa BnjaB Buiajsis p 'o^aaja U^ 'ouisiui pp SBaijaBjd sauopBoi[dB SBjjaia saiqiqaauoa uos 'op^^psaj ajsa ap oaijoaj saja^ui pp ajJBdy •aiqísod Bas praaouB o^uaiuiBiaoduioa pj anb BJBd saiuapijns A SBiJBsaaau sauopipuoa UBp as b^ou Bqarp ua íj; uoa aiqBjnsuautuoaui jr opopad ap sauopnps JijtuipB 'oJBquia uis 'apand (i) Biuaisis p 'i aiqBiJBA bi b ojaadsaj uoa jr opouad ap Baipouad y opuatuodns 'anb opBJ^soui aq '[oí] JopaiuB bjou Bun u^ "sauopnps sb[ ap p^ppiun A Btauajstxa bi jBjn^ass BJBd otuoa sajuaiaijns pBptnuijuoa ap sapBpaidojd uoa pjjojaaA uopunj Bun y A 3 b oiaadsaj uoa x ap spBAijap bi x '(oduiap) ajuaipuadapui apEiJEA bi % 'sauoisuatuip u ap op^dsa p ua JojaaA un Bjuasajdaj x anb ua {% íx)X = ^(I) sapiauajajip sauoiaBnaa ap Biuaisis un soiuajapisuo^ — *i iA A \u\o^ vvassvw i asoí �Esta conclusión pesimista puede, sin embargo, ser superada. En efecto, tampoco tiene sentido físico la noción matemática de función periódica: el físico llama función periódica a la que, a menos de un error suficientemente pequeño, vuelve a tomar los mismos valores al cabo de un cierto intervalo de tiempo. El problema se plantea entonces así: si el sistema (matemático) (1) admite una solución periódica de período T", ¿será cierto que un sistema (fí sico) cuyo segundo miembro difiera bastante poco de X tendrá una solución aproximadamente periódica? Este es el problema que estu diaremos en la presente nota y veremos que la contestación, en ciertos casos, es afirmativa. 2. — Sea el sistema (1), acerca del cual suponemos solamente que admite la solución x = 0 (X(0, t) = 0) ; no se exige que X sea periódica en t. Diremos que la solución x = 0 es totalmente estable si, dado e > 0, existe un 8 > 0, tal que la solución x(t) del sistema (2)¿ = X1(x,t) que satisface la condición inicial x(0) = x0, verifica para todo t ^ 0 la desigualdad \\x(t) || <^ e, siempre que se tenga ||^o|| ^ 8 y ||X—Xi|| <^ 8 (esta última desigualdad se supone verificada para todo punto del cilindro ||^||^e,t^0).La noción de estabilidad total es intermedia entre la de estabilidad en primera aproxima^ión [7], [11], en que, además de la pequenez, se supone que X — Xi cumple otras condi ciones suplementarias, y la de tosquedad [1], en que se considera no el comportamiento de una trayectoria particular del sistema (1) sino el del conjunto de las soluciones. Otros conceptos análogos de estabilidad han sido considerados en [2], [3](*). Teorema 1. — Supongamos que el sistema (1) admite una fun ción de Lyapunov V(x, t) con las siguientes propiedades en el semicilindro \\x\\ ^ A, t^>0: a)es definida positiva; b)su derivada total dV/dt = dV/dt + dV/dx . X es definida negativa (**) ; c)sus derivadas parciales están acotadas. (*) Después de haber sido redactado este trabajo tuve conocimiento de trabajos ante riores de Dubosin y Malkin [4], [53, [6] y [8], en que se introduce y estudia el mismo concepto de estabilidad total con el nombre de estabilidad bajo perturbaciones que actúan permanentemente. En particular, nuestro Teorema 1 coincide con el Teorema 1 ya demos trado por Malkin en [6]. (**) Las definiciones de estos términos pueden verse en el artículo [9]. — 202 — �— 02 — •j 's opoj vuvd svapvSau svpmjfap uvas í)'---'(s)xí))?/e] V= (^)* sviuuof svj an^> &iuaiai¡ns sa a\qn%sa a^uatujujot vas (j) ^^ — tx upion^os v\ anb nuv^ — -g '[Oí] 9P (S) A (t) '() '(2) e^uopipuoo sb[ ua[duma as anb opoxn ap '(gí)?^)— () J^ '/ ^ s ^ '($)^) = ^^ BpBjaao X a^duiis BAjna b^ sa BiJo^aaXBjj BXna 4jr uoa a^qBansuaxnnoa -ut ^ opoj^ad ap (i) ^^ = ^x uoian^os Bun aasod anb souiBjtinpB X *ií oporaad ap j ua oatpouad ' ([oí] ap sauoiaB^ou sBUisim sb| sotaBzi^x^n) w'---'g'x —i ' (j iu^ *•••*** '^^) /==*^(g) Buiajsis ^a BjtoqB soraajaptsuo^ — *g \ap (a sisajodiq b[ aaBjsijBS Bpinjjsuoa j^b ap uoiaunj B| 'umaBjjsoraap B[ ap B^nsaj 00103 -[5] na BpBJisoraap 'sBma^sis sa^j Bjsd AoundBXrj ap uoiaunj Bun ap Bioua^ -sixa B^ ap X JoijajuB Buiajoa^ \ap ajuaniBiBipauíut Bj^nsaj 'ajqvjsa aiuauijvjoj sa uatqwv} saauojua 'ajqnisa aiuaumo\%p%w\sxi sa q = x umanjos vj ts X '(i ua) oo^ppijidd o ouiouptnv sa (j) muajsis \a tg — ' •opansqB sa anb o\ 'tn ^ (xí)M < {í)zA ^. m joj -o > g/4[ + (x)^ - > (x - TX) '*2/A2 + *P/AP = XX lAP '9U9íi 9S [í i(^)x]A= (*)lA í8 ' jod 'X 3 ^ ||ar|| ^ xg auau as (x^ 4j ||] I^Bd 'xj > ^ > 0 '^o^ba ouiixbux p j X 3 = |j (xj)^|| pna p b^b¿ JopA aouara p q < xí B^8 ^ 3 ^ || (J)^!! janj q < j unSp BJBd anb 'oiJBJiuoa p Jod 'soniBSuodng '0 ^ i opoj bjb¿ 3 > || (?)^|| anb oSiq • ^ ||0:t;|| uo 0:lír JOIBA Ia tnoi 0 = ^ -t^d anb Binsini B[ ap uppnps bi [})x X ^ ¡|XX~X|| uo (2) uopsnaa b^ Bag txS) Ju! > 8 > 0 ^ 0 < {X)M JUT = Xm •tn ^ ¡ (i '^) ^ I sa x ^ 11 x 11 is 'anb pi 3 > xg > 0 un 9J8íxa t ( JO<I 1lll dns = ^ to< (x)aí j = mi 'k > 3 > 0 BaS "0 = {0)AÍ '0^* Í8 0 < (X)AÍ anb (^)J1 < (* 'x)yl B9S •ajqv^sa a%xiauipa%o% sa q = x upjonjos vj �Hagamos el cambio de variables y i = Xi — Fi (í), que muda la solución en cuestión en la solución y = 0 del sistema Incidentalmente, observamos que el nuevo sistema es casi-periódico en t. Sea V(y, t) = 2^ yJ '•> evidentemente cumple las condiciones a) ye) del Teorema 1. Se tiene, dV/dt = 2 % y i i fi [yi + Fi(í),..., y + F(t); t] -F¿(t) }• = = 2 ^/fe [Fx^.-.-.F^t); í]-yiyy+ ... i, í^" en que los términos no escritos son de orden superior. Esto demuestra el teorema (suponemos condiciones de regularidad suficientes para las /i, por ejemplo, existencia de derivadas segundas continuas). Observamos que, suponer que las formas 2} /ír ÍGi(s),. . ., Gn(s) ; t]. y¿y_, son definidas negativas para todo s, t no es más restrictivo que suponer que lo sean las formas ^/fe [Fi(t)..., Fn{t) ; t] yiy; para todo í. En efecto, dados s, t cualesquiera, existe un f0 para el cual Gi(s) = Fi(t0) y existen enteros m, m' tales que t + mT — t0 + m'T', con lo que IXjIX. fix. [Fx(ío),. • -, F(í0) ; o + m'T'] = /fe.. ^F^Í0 + m'T'),...,Fn(í0 + m'T'); t0 + m'T'], es decir, las formas de la primera clase difieren arbitrariamente poco de formas de la segunda clase. A continuación damos un criterio no tan restrictivo como el ante rior pero que, en cambio, sólo asegura la estabilidad orbital (es decir, que las trayectorias del sistema variado difieren poco de las del sistema original). Teorema 3. — Para que la solución x% = F¿(í) sea totalmente estable en el sentido orbital, es suficiente que las ecuaciones — n(f +/W2(f hxo)/2)2X^-p... 4- ^ W2 {Ux]+fnx\)/2 (4) =0 fixn)/2 (fnx2 ~l~ f-ix^/2 ...fnxn—fxfn n ••• — 204 — /- �— sos — 'S3 — ^[ anb U3 so^und so[ na 'auaij 93 '(¿) ap uopnps Bun jod x ^\ ^[ na opuBze^duiaaa auaiaqo as anb uopunj B[ sa (t)zA ig — ?*: BAJtna bj ap ouaojua p ua g > — ^/| anb souiBSuodns Á OpBTJBA BUiaiSIS |3 BJOl|B B3g •ouanbad ajuaxnaiuaiatjns ojauínu un sa q < ^ anb na y^— ^ ^p/AP ^JPU3J 9S '(s3 ^ /I í8) ouanbad ajuB^sBq uos Hi so]^ is 'saauojug -q = ?n (j í (^)Mí) '*' 'i(s)lO)}f ^ 'ouisiui o^ sa anb o\ 'o (5) uoiaipuoa b^ uBaijiaaA anb ^n sb{ ap sajopA bjb¿ BAT^BSau Bpxuijap sa (9) ap ojqtuaxui opun^as p ua anb Ba^BjpBna buijoj b^ 'sBAijBSau uos (^?) ap saatBJ sb[ is 'anb Bjpsai uopBnupuoo b souiajBJ^somap anb Buia'q pp 'uatq Baoqy (9) spanb *B|nu sa BtjoiBuins Buirqn u\ '(5) jod 'oxuoa í (s)^t^) ^ (a í (S)UQ ap JojaBj p sa (s)^ ^sVo t---i(s)xO)H-(a ín 'saauoaua í^n = •(a s*í--"^^)/'aiuarapuij ' fo-f ^od 'auaij ag (s) •0= W.O'iWo-t*li anb pa (wx ^•••iix) jod opBuiuuajap aauauíBaoATun aopA un sa s anb ua lz[(s)^O~íx] ^ = A BUUOJ BI aP sBnuxjuoa SBpBAijap uoa uoiaunj Bun Bjpsaj y[ 'Buanbad Bas y^ anb Á (^/ sbj ap SBnuijuoa sspunSas SBpBAijap) psp aauapijns opuaiatuipy.'(s)^ = ^x BAjna b^ b (M^r '•••'Ia;) ojund pp BiauBjsip buiiutui b^ ap opBjpBna p pnSí (ux í---txx)y^L uopunj B^ iux í^'-txx sBpBuapJooa ap opBdsa p ua 'soiuajapxs -U0^ *x Buiaaoaj^ pp tb\ b BSopuB sa uoxaBJisouiap ^\ ap Bapt B>q •([a i {S)UO 4*'''(s)xí)] oapauaS oaund p ua SBp -Bpapa UBisa SBpBAiaap sns Á ^f sb^) svapvSau s^oxojl sns svpoj S �dVi/dt = dV/dt + ut [/í(*i,..., xn; t) - ; t) ] < <0 siempre que 8 < ke/2n. Por tanto, si la solución de (7) partía de un punto inicial en que V < e2 será, para todo t ^ 0, Fx < e2 y por tanto u¿ < e, es decir, hay estabilidad total orbital. Lema. — Condición necesaria y suficiente para que la forma iUj, aa = a^-i, sea definida negativa para todos aquellos valores Ui que verifican la condición ^ bim = 0, es que todas las raíces de la ecuación 2122 — 2n (8) =0 Onln2• • • bxb2... dnn — ^ bn bn0 sean negativas (*). Basta probar que los extremos de la función W = ^ aijUiUj, bajo las condiciones ^ ^jUi = 0, ^ i¿2 = 1, son negativos si y sólo si las raíces de (8) son negativas. En un punto estacionario se tendrá (9) aijUj- {X/2)bi-¡xUi = 0. Multiplicando respectivamente por U\ y sumando, se tiene ju. = W. Por otro lado /x queda determinado por la condición de que las (9) y la ecuación ^ bii¿j = 0, consideradas como sistema lineal homo géneo con las incógnitas i*i,..., un, — A/2, tengan solución no trivial, es decir, por la (8). 4. — Dado e > 0, diremos que la función x(t) es e+-periódica de período T si existe una sucesión tn, to = O, 0<T — <tB+i — tn < T + tal que \x(tn + t) -*(t) | < para 0<T<tn+1-tn. Diremos que es e + -periódica fuerte si se puede tomar tn = nT. ^Las clases de funciones e + -periódicas y casi-periódicas son rampantes. Las funciones periódicas pertenecen a ambas clases, y es evidente que hay funciones +-periódicas (para algún e fijo) que no son casi-periódicas. Por otro lado, hay funciones casi-periódicas que no son + -periódicas para algúíi (fijo) suficientemente pequeño. (*) Como resulta fácilmente de la demostración del Lema, las raíces de (8) son siempre reales. — 206 �— LOZ — 4 ( euoiaaXBjj bj ajqos ? ap 'pupijEao: ua 'uapuadap ou ^f sbj '[01] 9P U) u^á9S '9nb oisand) ( (s)? ¡ • • ^(í)^)*/" (?*eAe) ^ = ((í)j t---'(í)^í))/-(*e/ffe) ^= ( '•••'(í)W/'(?*eAe) = ?p/sp 'Bjpuaj as 'aiuaiuBAiiaadsaj *(?)s ap ^ ( (?)^¿^ = ^^ 9P oSjbj oj b BpBjnajBa) (?)s ap sBsjaAui sauopunj sbj b (s)_? X (s)? souibuibjj is 'sBiuapy • (o = J ^nb -lauodns ua ajuaiuaAuoaui ^Csq ou) x>u — (Mj)s. anb sa|Bj u% so^und so[ uajsixa Á (j)s a^uaioaja uoxaunj Bun sa 'uoianjos Bsa ap o^jb^ o[ b 's saauoju^ *q ^ í BJBd (j ojoj p ua BazauBuuad anb '^¿i> z[ (q) í^- (o) ^^] ^ uoa ' (¿) ap (?) ^^ uoxanps Bun '¡Bjiqao pjoj pBp -qiqBisa B[ ap pniaiA ua 'Bjsixa anb ouanbad ubj g BJoqB souiBfq^ •ouanbad ajuBjsBq g uoa g > 1-S — ^f\ anb jC ouanbad ajuauíaiuaiaijns Bas U anb aad -inais z/m ^ ?J9S (J 9P lu^d jarab^na ua (¿) ap pni.UA ua ^pE^a^o ip/sp 'oiubi aod íq < tu ^ sa (?)^ = ^air BAana b^ ajqos (g) ap pmaiA ua BpBpiajBa ip/sp '[oí] 9P (S) ^ (f^) sauoiaipuoa sb^ ap pni -jia u^ qBuuou bj ap aid [B aiuaipuodsajaoa ojiauíBjBd pp JopA p Bp anb (g Buia^oa^ pp uppBaisouiap B^ ua BpBJapisuoa bX) auuoj -tipui uoiaunj b^ ^ux '* • -ilx)s Bas íBaiun Bas q ap oiund jambpna apsap BAjna bj b BpBZBJi U > pnii^uoj ap jbui^ou bj anb ouanbad ubi o < ^ opiiaja Bq as anb opuatuodns iU ap souaui ua BAjna Bsa ap uBisip anb oxaBdsa jap (ux '•••^i^f^ soiund soj sopoi jod opBuuoj ojoí ja q BJoqB Bag *(q)?^)z= (o)?^ 9nb SBuiapB aauodns souiapod \ou -\- s — s saaojBA soijuijui soj BAjna bj ap oiund Bp^a b souiBposB X * — ¡ =-o opojjad ap SBaipotaad ^^ sbj somauodns í(?)^^^^a^ uopnjos bj ap BiaoiaaXBJi '(s)?^) = ^ar BAjna bj soinajapisuo^ \X opoj^ad sp svojppiuad-+3 s&uoionjos Btfiupn (¿) vwdiSis p 'g > |?^-?/| ?s cenb /? q < g ww 9isixa 'o < 3 opnp 'saouoiua ísvant>^au audiums ttos 'vuainbsajvno ? *s vxod ' (f) ap sao -ívi svj 'svwapv 'is íj^ uoo ajqvunsuawuoouj podauaS ua 'jr opojjad ap (?)í^ = ix upionjos vun a*iiiupv anb opoui /? ap '[oí] ^P (S) ^ (f) '(g) '(^) saumoipuoo svj voiftdaci (g) vuiaisis ja ig — • •JBIAIJ1 UOiaBJlSOUiaQ 'X po^dd ap satuanf svoippiuad- + 3 sauoionjos anuipu (^) vuia%sts ja 'g > j |r^y — y|| is anb /? q < g ^^ atsixa 'o < 3 o^op 'saouotua 'ajqvisa atuauijuiot íjj opoiuad ap (t)x voippiuad upionjos vun a%iuipn (j^) vuiaisis ja ig — - >3>0 -bjji D > f/ O8BD I9 u9 'ojduiafa jod 'ojjBaisouiap Jiajjip sa o^[ 'jBuota '(? uas q _j_ ?) uas == (?)^ sauoiaunj sbj 'jBjauaS ua 'uos �Puesto que ^ [Gj{s) -Xi[t{s)]]2 < r¡2, esto indica que, si r¡ y 8 son bastante pequeños, la diferencia entre ds/dt y ds/dt, calculadas para el mismo valor de s, será arbitrariamente pequeña. Como i > — C_ _ f(" i {ds/dt) 1 ds — i{ds/dt) ^ o^ na x <is, tn + i — ^n == ^(n — i{ds^/dt) ~1 ds, resulta que, si rj, 8 son bastante pequeños, J na se tendrá T" — e < tn + 1 —tn < T' + e. Para completar la demostración del teorema basta ahora aplicar dos veces el teorema sobre dependencia continua de las soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales con respecto a los valores iniciales y a los segundos miembros (*) : una vez al par de solucio nes Fi{t) y xi(t) de (3) y (7) en el intervalo O < t < tn + 1 -tn, y otra al par de funciones F,(t) y x¿(tn + t), en el mismo intervalo, que son soluciones de los sistemas x¿ — /¡(xi,...; tn + i) y Xi = gi (xi,. .. ; tn + t), respectivamente (nuevamente aplicamos aquí el hecho de que las /, no dependen, en realidad, de t sobre la trayectoria). Como, por la construcción de los tn, los puntos ini ciales (t =: 0) de ambos pares de soluciones distan entre sí < rj y como los segundos miembros de los sistemas difieren entre sí en < 8, tomando estos números suficientemente pequeños se puede conseguir que, en el intervalo considerado (de longitud <T' + e), las diferencias entre las soluciones de cada par sean < e/2 y que, por tanto, |xi(tra + t) — Xj(t) | < e para 0 ^ t ^ tn+1 —tn, que es lo que queríamos demostrar. Es interesante observar que, en general, la estabilidad total orbi tal de una solución periódica del sistema (1) no implica la existencia de soluciones aproximadamente periódicas de un sistema variado, arbitrariamente poco diferente de (1) aunque, como queda demos trado en el Teorema 5, esto sí ocurre para sistemas en que la solución periódica es de período inconmensurable con el período del sistema. Un ejemplo sencillo es el siguiente: x = x{l-x^-y2) - (1 + b eos t)y = X{x, y, t) ) y = y{l-x2-y2) + (1 + b eos t) x = Y (x, y, t) j Este sistema admite la solución, periódica de período 27r, x = eos (t + b sen t + c) , y = sen (t + b sen t + c), c arbitraria. Estas soluciones son orbitalmente estables. Sea, en efecto, V = x2 + y2 con lo que, en virtud de (10), dV/dt = 2V(1-V). Dado (*) Ver, por ejemplo, Kamke, E. Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig 1930, Pág. 152, Satz 5. — 208 — �— 602 — *8d '(61) Oí' '^ííqS SunSamaq jama jajtjtqajg atp Jaqafj :•}[ 'nxsaisaag '\\ '(j •I^¿-0¿ #8d '(6Í6I) OS "qJEFí J siEuV '^iUIQ^^ f suopipuoa sjfounodoiq uq :*q ' 'vaassvj\[ "oí "(0S6T) AI 'oapiAaiuoj^ -au^ -dbj qog 'uaiq -uibj ÍS-f- *sd '(0S6I) II 'oapiAajuoi\[ -pBjsg -jbj^ -jsuj qqng •sajaiouajaftp sauotoanoa ap saoipptjad sauotonjos snj ajqos sauotoaajasqQ :*g • 'vaassvj\[ 'ojuaiwtoow \ap popijiqDjsa tq ap mioaj^ :-^ '\ ' •^¿•8^ 'sd '(IS6I) 9¿ 'SSH^ "PS TB3V (^PBPIoa) snpuag sajdrao^ •upiantuíxojdo vuauiud ua pvpijtqvisa auqos muaioat u¡j :-^) *j 'misivj\[ *¿ 8" •atujad uanjoD anb sauotoaqjntjad uoo pDptjiqDtsa vj ajqo :'^y *j ' ¿ '"1BN "lKI\[ "s!^[ SBPuaíD 3P 3!J3S 'p3soj^[ "Aiug ^jimsa^ 'ajuatuajuauotujad uvnjav anb sauotaaqjnuad uoa paptjiqDjsa ap Dtuajqojd ujj :-^¡_ *^) 'MisoaaQ ' AIX 'SIVO IaP sfcqBJX 'atuatuajuauaiujad uanjan anb sauotaaqjnjjad a o%oad •saj uoo oiuaiiuiaotu pap paptjiqatsa aj ap upijsano aj ajqo :*|^ '^) 'visoanQ 'f •I-Í8^ 'sd '(ÍI6D ffl '^H^^ pun amai aip anj ^Bujnof •uaSunqota^SjtnjuajafftQ jaqa[\ :-j 'iHog ' •88 "d '06I 'aSBjjny ^niJQ 'uaSunqoiajSjauuajaffiQ jap atjoaqx '"J 'Havaaaaaig 'g •os^-it^ -sd '(¿6i) í'i 'ssaa *ps t snpuag saiduiog msjatssoj8 satua^sXg :*g vuvaoonaia • (o _|- % U9S ^ -j- jv) uas = X ' (o _)_ ^ u^s q _)_ j) soo — a: l UOS 9JU9IUB0TJOJUISB 9tlb OJ89nd 'B9ipoiJ9d 91U9UIBpBUl S9 sguopn^os sbs9 9p BunSuiu 9nb opoin 9p 4 oo _|_ ^% -<— (?) j. 9nb ug ' (o _p ? ugs q _|_ ?) 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Title A name given to the resource Revista de la Facultad de Humanidades y Ciencias Creator An entity primarily responsible for making the resource Facultad de Humanidades y Ciencias Publisher An entity responsible for making the resource available Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 1947-1989 Rights Information about rights held in and over the resource Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Language A language of the resource Español Type The nature or genre of the resource Publicación periódica Contributor An entity responsible for making contributions to the resource Lic. Pablo Darriulat Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Estabilidad total y vibraciones aproximadamente periódicas Creator An entity primarily responsible for making the resource MASSERA, José L. Source A related resource from which the described resource is derived Revista de la Facultad de Humanidades y Ciencias /Universidad de la República. Montevideo : FHC, UR , Diciembre 1953, Nº 11 : p. 201-209 Publisher An entity responsible for making the resource available Facultad de Humanidades y Ciencias Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 1953 Rights Information about rights held in and over the resource Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Language A language of the resource Español Type The nature or genre of the resource Publicación periódica