http://humanidades-digitales.fhuce.edu.uy/files/original/fe6cb16670d20ebf7d0f8db5f2af0d6f.PDF 3c08359b1610c0ec02a095caa4bb1d50 PDF Text Text Ing. CESA'REO VILLEGAS MANE‘ (Instituto de Malematica y Estadislica. Facultad de Ingenieria. Montevideo) UN TEOREMA SOBRE INVERSION LOCAL DE TRANSFORMACIONES INTRODUCCION El objeto principal de este articulo cs demostrar el teorema de inversion local de transformaciones en los puntos regulares. Para dar una idea sobre estc teorema, Cs necesario aclarar e1 sentido con el cual se usan algunos términos. Siempre que no se diga explicitamente lo contrario, las transformaciones consideradas seran transformaciones uniformes x : x (E? entre espacios 'de Hausdorff E y Ex. Diremos que x : x (E! cs localmente topolégica en el punto as E o bien que (1 es un punto de topologicidad local para x : x (E ), si hay un entorno1 U del punto a que se trans-forma topologicamente en un entorno Uu de la imagen a de a. Asimismo diremos que x : x (E es localmente topolégica an un conjunto, si 10 es en todos sus puntos. Empleando una terminologia usada por REY PASTOR [l] dircmos que un punto (1 cs regular para la transformacion x : x (E) si ésta es continua en el punto (1 y localmente topolégica en un entorno reducido de a 3. Diremos que la transformacién es regular en un punto si éste es regular; y que es regular en un conjunto si 10 es en todos los puntos. De los teoremas de inversion local y de prolongacion continua de transformaciones interiores, ambos debidos a STOlLow [2] se deduce inmediatamente, como mostraremos mas adelante, que si E y Ex son localmente homeomorfos 3 E2, la transformacion x = x (E) " Llamaremos entorno de un punto a todo conjumo que (-ontenga en su interior a dit-ho punto. 2 Llamamos enlorno reducido dc un pumo a a1 conjunto formado por los puntos _de unremorno de a. distimos de a. Hay que notar que la definicién de punio regular ‘dada aqui, no‘coincide en general con la de .REY PASTOR pero si coincide en el caso vde transformaciones entre espacios localmente homeomorfos a E2: ——267—— �en un punto regular es localmente equivalente a la trans‘formacion z : :k en E; : 0, siendo z y C variables complejas 3. El teorema de inversion local de transformaciones en los puntos regulares es una extension de este resultado al caso- en que Ex es localmente homeomorfo a E11 y E es un espacio regular, localmente compacto, que satisface el primer axioma de numerabilidad. Es interesante observar que a pesar de la estrecha relacion qua liga a estos dos teoremas de inversion las demo-straciones son com' pletamente independientes. Ha sido necesario comenzar con un estudio de las propiedades de los puntos de topologicidad y de las hojas, y también de las prolongaciones a lo largo de curvas. Llamamos hoja (respecto a una transformacion dada) a todo dominio“ perteneciente a E que se transforma topologicamente en un dominio perteneciente a Ex. Siendo a un punto de E y siendo C: x : f (A) 0 é 7» é 1 una curva continua p-erteneciente a Ex, cuyo primer extremo f(0) es la imagen a de a, decimos que una curva continua E : g (M 0 é A é M cuyo primer extremo g (0) es (1, es prolongacio'n de a sobre la curva C, si para todo A se cumple x[g(M] : f0») . El estudio de las propiedades .de las hojas y de las prolongaciones ademas de ser imprescindible para demostrar e1 teorema de inversion, es interesante por la similitud quc presenta con algunos puntos de la Teoria de Funciones. Finalmente en el § 5 se ataca con ayuda del teorema de inversion el problema de la uniformizacién de las funciones multiformes y 2 F (x) . Es particularmente til el hecho de que el teorema dc inversion sea vélido para espacios E regulares localmente compactos, que satisfacen el primer axioma de numerabilidad, y no simpl-emente para espacios E localmentc homeomorfos a E“. En el caso en que Ex : En y Ey : Em el principal resultado que se obtiene es dar condiciones suficientes muy generales para que se puedan encontrar funciones uniformizantes x = x (E) y : y (El definidas en un espacio localmente homeomorfo 3 En de las cuales la primera sea regular (mas aun, si 11 > 2 localmente topolégica) y la segunda sea continua. Finalmente se resuelve el problcma dc estudiar las propi-edades de las funciones y : y (x) implieitas en una ecuaeién F (x y) : 0 en un entorno de un punto (Xoyo) en el cual e1 jacohiano ordinario 8F sea nulo, pero sea distinto de cero en todos los demas puntos dc 5 Y un entorno de (xoyo) . a Vet lardefinicién de transformaciones localmente equivalentes en § 3.2. ‘ Llamamos dominio a todo conjunto abi‘erto y conexo. ~268— �§ 1. 1) Hoias y puntos de topologicidad CRITERIOS DE BIUNIVOCIDAD, CONTINUIDAD Y TOPOLOGICIDAD. — Si C es un conjunto de E, designanemos x (E I C) 5 a la transformacion de C a Ex que a cada punto E (16 C 1e hace corresponder e1 punto x( E) . La transformacién x : x (E) se llama una extension de x (E I C) y ésta se llama transformacién parcial. 'Diremos que una transformacién x : x (E) es biunivoca si a dos puntos E diferentes hace corresponder puntos x diferentes. CRITERIO DE BIUNIVOCIDAD. — Si E es union de un nlimero cualquiera (finito, infinito numerable o no numerable) dc conjuntos An (118M) , si todas las transformac‘iones parciales x (E I An) son bi__ univocas, y si la imagen do An — Am es Anx -— AInx , siendo Anx— _ x (An) , la transformacién x : x (E) es biunivoca. DEMOSTRACIéN. — Todo punto de A,1x tiene una sola preimagen en An porque la transformacién parcial x (E I An) es biunivoca. Ninglin punto de Anx tiene preimégenes en Am — An porqué por hipétesis x (Am —- An) : Am —— Anx . Luego ningt’m punto de Aux tiene preimégenes en U A“. —— An, es decir, en E —— An. Por consiguiente, todo punto de Anx tiene una sola preimagen en E. CRI’I‘ERIOS DE CONTINUIDAD LOCAL. —— 1) La continuidad o no con- tinuidad de x : X (E) en un punto cuaIlquiera no se altera por ninguna modificacién del espacio Ex que consista en quitarle puntos que no tienen preimdgcnes en E, 0 en agregarle nuevos puntos. 2) Si x _ x (E) es continua en a, y C es un conjunto cual- quiera que contiene a a, la transformacién parcial x (E I C) es continua en a. 3) Si C es un cntorno de a, y si la transformacién parcial x (E I C) es continua en a, x (E) es continua en a. 4)’ Si E es union de un nlimero finito de conjuntos C1, (11 :- : 1, 2, ..., n) todos los cuales contienen al punto a , y si todas las transformaciones parciales x (E I Ch) son continuas en a, la trans- formacién x I x (E) es continua en a. Estos criterios son conocidos; ver por ejemplo [3] pég. 68 y [4] ping. 156. LEMA. — Sea E un espacio que es la union de dos conjuntos A y B. Condicion necesaria y suficiente para que A —— B y B —— A sean desconectados6 es que todo punto que sea frontera a la vez do A y de B pertenezca a A n B. Demos-traremos solamente que la condicién es necesaria, pues no utilizaremOS el hecho de que es tamhién suficiente. Todo punto que ” Es 1a notacién empleada por C. KURATOWSKI ([2], pég. 68). “ Decimos que dos con-juntos C D son desconectados »si C n B“ y D n C” so (devsunidos, es decir, no tienen punto-s comunes (emplearemos la notacién C“ para designar al complelado o adherencia de un conjunto VC ). ——269— �sea frontera a la vez de A y de B es tamhién frontera de A —-— B y de B —‘ A, y como éstos por hipétesis son conjuntos desconectados, no puede pertenecer a ninguno de ellos y por lo tanto pertenece aAnB. CRITERIO DE CONTINUIDAD REGIONAL. —— Si E es la union de un nlimero finito 11 de conjuntos Ah tales que cualquiera sean h k (distintos) los conjuntos Ah — Ak y Ak — Ah son desconectados, y si last transformaciones parciales x (E | An) son continuas, la transo formacién x r. x (E) es continua. DEMOSTRACIéN. —— l) Demos-traremos en primer lugar que vale para 11 : 2. For 61 criterio 3) de continuidad local, x : x (E) es continua en todo punto interior a A1 0 a A2. Los puntos restantes son los que son a la vez fronteras de A1 y de A2, y por el lema anterior pertenecen a A] n A2, luego por el criterio 4} de continuidad local x : x (E) es continua en esos puntos. 2) Vamos a demostrar ahora que si vale para 11 vale para n + l. Pongamos B1 : A1 U U A“, B2 : An+1. Como el teorema es valido para 11 por hipétesis, la transformacion parcial x (E (B1) es continua, y la otra transformacién parcial x (E i Bg) es continua-por hipotesis. Vamos a demostrar que los conjuntos B1 ——- B; y 13:; —— B1 son desconectados. Cualesquiera sea j # n + 1 105 conjuntos 32 —— A1 y Aj — B2 son desconectados; luego también lo son n (B2 — Aj) y (Aj — B2) y finaltmente también n (B2 —— Ajl y U (A,— — B2) , pero éstos son ‘simplemente B2 — Bl y 31 — B2. Aplicando a‘hora el teorema, que es vélido como ya demostramos para n 2 2, se deduce que x : x (E) es continua. CRITERIO or; TOPOLOGICIDAD. ~— La transformacién x :_ x (E) es topolégica si E es union de un nlimero cualquiera (finite, infinite numerable o no numerable) de conjuntos An (neMJ 1') tales que: cada An se transform topologicamente en A“. 2) todo punto E es interior a un conjunto formado por la uni‘én de un nlimero nito de conjuntos An ; y andlogamente todo x8 U Aux es interior en U A"X a un conjunto formado por la union de un mimero finito de conjuntos Anx . 3) l0s conjuntos An ———~ Am y Am — An son desconectados, lo mismo‘que sus imdgenes A"x — Amx y Amx —— Anx (para m y n distintos cualesquiera) . DEMOSTRACION. # En primer lugar la transformacion x r: x (Eb es biunivoca por el criterio de biunivocidad. En segundo lugar es continua: en efecto, todo punto E es interior a un conjunto C formado por un n mero finito de conjuntos An ; por el criterio de continuidad regional x : X (E (Cl es continua, y en particular es continua en E ;".y como E es interior a C, x :: x (E) es continua en E. En igua] forma so demuestra que la transformacién inversa es continua. , 270 7* ~ �42. ‘PROPIEDADES DE LAs HOJAS. —— Generalizando una denomina- cién utilizada por STOiLow [2] diremos que un conjunto C C E es normal para la transformacion x : x (E) , si sus puntos interiores se transforman en puntos interiores de x (C) , y sus puntos fronteras en puntos fronteras de x (C) . TEOREMA 1. Condiciones suficientes para que una hoja sea normal. — Si H es una hoja, y si x z x (E IH") es continua, H es normal. En efecto, en primer lugar es inmediato que Ios puntos interiores de H se transforman en puntos interiores de su imagen Hx. Falta demostrar que todo frontera do H 56 transforma en un frontera do. Hx. Sea a un punto frontera de H. For la continuidad de x : : x (E lH") su imagen aeHOX. Supongamos por el absurdo que a8 Hx . Entonces en H hahra un [3 7-4- a cuya imagen seré a. En H" relativizado tomemos 1m entorno U de a y un entorno V dc B sin puntos comunes y e] segundo de ellos contenido on H . La imagen de V llenara un entorno Va C Hx. Hay un entovrno de a U1 C U cuya imagen esta contenida en Va. rl‘odo punto de V“ tiene una preimagen en V , y algunos puntos de V:l lienen pre‘imagen en U1 ; estos puntos tienen pues dos preimagenes on H 10 cual es absurdo. Si A es un conjunto abierto normal, 511 imagen Ax es también un conjunto abierto. No hay ning n conjunto conexo C D A y distinto de A cuya imagen Cx esté contenida en Ax, pues C. contendra puntOS fronteras de A, que se tran-sforman en fronteras dc Ax .los cua'les no pert-enecen a Ax. Se deduce inmediatamente la siguiente propiedad de unicidad: Si una hoja H es normal y comimw a 1m punto (1, es la 12mm hoja (normal 0 no) que contiene a a 3/ so transforma en Hx . Pero esta propiedad dc unicidad vale on general, independientcmeme dc que la hoja sea normal 0 no. TEOREMA 2. Unicidad de la hoja. — Si hay una hoja H que conliene al punto a y que se transforma en el dominio Hx dado, es la linica hoja que tiend esas propiedad'es. DEMOSTRACIéN. —— Supongamos, por el absurdo, que hay otra hoja H' sé H que tiene esas propiedades. A] dominio II 10 correspondo topologicamente e] dominio Hx mediante la transformacién x : x (E! , y a estc dominio HK 16 corresponde topolégicamente e1 dominio H' . El produoto de estas corrospondencias es una vorrt‘spondmicia topologica ontrc H y H’, que llamaromos T. E] conjunlo C _ H n H’ , que es no vacio pues (tontiene a1 punto u. cslai formado por punto»: unidOS en 05a correspondent-i2]. Como H # H’, uno de los dos conjunlos H‘ndra puntos no (-ontenidos en C , y a 65105 puntos lcs corrospondt‘ran modiante T puntos del otro conjunto que tampoco vstaran on (I . I‘ls decir qm‘ lantn H como H’ tendrén puntos fuera do C. El conjunto C es abierto porquc es la intorseccion de dos conjuntos abiertos, luego no tiene puntos de acumulacion del conjunto H , « C . (Iomo H vs conexo. H ~77 C tivne puntos do, arumulacion do! ,, 271 W �conjunto C los cuales serén fronteras de C. 'Sea (11 un tal ‘punto. En H’ 13 corresponde un punto (12 situado fuera de H y por lo tanto distinto de (11 . Tomo un entorno V1 de (11 y un entorno U2 de (12 sin puntos en U2 . Este contenida en pertenec-en a comunes. Hay 1m U1 C V1 cuya imagen esta contenida U1 no liene puntos comunes con EU2 y su imagen esta U2 . Pero esto es absurdo, pues en U1 hay puntos que C. y que por lo tanto son unidos. TEOREMA 3. Condiciones suficientes para que la union dc dos hojas sea una hoja. ~— Si A B son dos hojas que tienen un punto comlin a y que se transforman en dominios Ax Bx que tienen en comlin un dominio Cx el conjunto H : A U B es una hoja. DEMOSTRACIéN. — En primer lugar H 2' A U B y su imagen Hx : Ax U Bx son dominios pues son union de dominios que tienen puntos oomunes. Para demostrar que existe una correspondencia topolégica entre ellos, vamos a emplear el criterio de topologicidad. Es inmediato que A — B y B — A son desconectados, asi como — Ax Bx y Bx — Ax. Falta probar solamente que la imagen do A ~— B es AX — Bx, y analogamente que la imagen de B -—— A es Bx ~— Ax . Los puntos de A que tienen imagen en CX forman un dominio en A y por lo tanto en E. Luego constituyen. una hoja A' que contiene a1 punto a. Anélogamente los puntos de B que se transforman en CK forman una hoja B’ que contiene a1 punto a y as transforma en C.X . For 61 teorema de unicidad de la hoja es A’ : B’ . - Los demés puntos de A no tienen imagen en C)[ y por lo tanto no pertenecen a A n B. Anélogamente los demés puntos de B no pertenecen a A n B. Luego A n B : A’ : B’ y por lo tanto A —— B : A —— A’ es decir que la imagen de A — B es-Ax — Bx, y anélogamente Ia imagen de B —— A es Bx —— Ax. TEOREMA 4. Si A y B son dos hojas, que tienen un punto a comlin, y se transforman en los dominios Ax C Bx, es ’A C B. Se demuestra inmediatamente utilizando los teoremas 2 y 3. TEOREMA 5. Si hojas, 1: (HM) es una sucesién monotona creciente de H : U Hu es una hoja. En primer lugar H : U Hn y su imagen Hx : U a son deminios porque tanto ((Hn como ((a)) son s-uce‘siones monétonas crecientes de dominios. Para demostrar que hay una correspondencia topolégida entre H y Hx basta aplicar e1 criterio de topologicidad, tomando como conjuntos An los conjuntos Hn. DEFINICIoN DE HOJA ESFERICA. — Si Ex es un espacio métrico, 11amaremos 'hoja esférica, o simplemente esfera, K, a toda hoja que. se transforma en una esfera o entorno esférico Kx . Si la esfera Kx esta centrada en a, y el punto correspondiente en K es 0: digo que la esfera K esté centrada en a. Llamaremos radio de la esfera K a1 radio de la esfera Kx. —~ 272 —— �Observaremos que, asi como un entorno esférico Kx puede tener avarios radios, y puede ser entorno esférico de varios puntosgien forma anéloga una esfera K puede tener varios radios y varios centres. Pero en cambio, si hay una esfera K de c-entro y radio dado, esta esfera es unica, como s-e deduce aplicando rel teorema de unicidad de la hoja. Si en particular Ex : En, cada esfera K tiene un solo centro y un solo radio, exctepto las esf-eras de radio 00 , pues estas esferas son también centradas cn cualquier punto que contengan, pcro siempre tienen radio 00 . Aplicando e1 teorema 4, se ve inmediatamcnte que si dos esferas tienen el mismo centro, la de radio mayor contiene a la de radio menor. Utilizando e1 teor-ema 5, so we también inmediatamente, que si hay esferas centradas en un punto dado, hay una de radio maximo, que por consiguiente contiene a todas las otras, y que llamaremos la esfera mdxima centrada en ese punto. 3. PUNTos DE TOPOLOGICIDAD. — LEMA. — Si una transformacién x : x (E) definida en un entorno U do a transform topolégicamente a ese entorno en un entorno Ua de la imagen a de a , hay un entorno abierto de a A C U que se transforma en un entorno abierto de a An C Ua. DEMOSTRACIoN: trivial. TEOREMA 1. —— Si 01 es un punto de t0pologicidad, todo entorno de a se transforma en un entorno de su imagen a ; y dado arbitrariamente un entorno U de 0. hay un entorno abierto de a A C U que se transforma topolégicamente en un entorno abierto Aa de a . DEMOSTRACIéN: trivial. TEOREMA 2. —— Condicion necesaria y suficiente para que x : x (E) sea localmente topologica en 0t es que sea continua en un entorno V de a y que exista un entorno U do a y un entorno Ua de la imagen a de a , tales que haya una transformacion E : f (x) uniforme y continua que sea la linica transformacion inversw definida en ‘Ua y cuyas imdgenes pertenecen a U. DEMOSTRACIéN. ~ Suficiente. —- La correspondencia entre W : V n f(Ua) y W“ : x (W) es topolégica; ademés- (1 es interior a W7 por ser X(ED continua y a es interior a W" por set {(x) continua. Necesaria: trivial. TEOREMA 3. —— Si E es localmente conexo, dado u-n entorno arbitrario U de un punto de topologicidad 0L, hay una hoja H contenida en U que contiene a a. DEMOSTRACION: trivial. TEOREMA 4. — Si Ex es regular, localmente conexo y localmentr‘ bicompacto, dado un entorno arbirario U de un punto de topologicidad a,‘ hay una hoja normal contenida en U que oontiene a a. —273— 18 �' DEMOSTRACIéN. — En efecto, por el teorema 1 dado U hay un entor—no ahierto A C U que se transforma topolégicamente en un entomo abierto .Aa. Como Ex es regular, 'hay entomo Ua C Aa tal que U°a C Ag. Como es localmente bicompacto, hay un entorno Va C Ua tal que V0,. es bicompacto. Como cs localmente conexo, hay un dominio Hx C Va que contienc a a. Su completado H"x esté contenido en Aa y es bicompacto y por tanto H—cerrado. En A a Hx 1e corresponde un dominio H que contiene a a cuyo completado (en A) es homeomorfo a H"x y por lo tanto es cerrado, es decir, es el completado H0 de H. Luego H0 C A es decir x : x (E1H0) es continua, luego H es una hoja normal. TEOREMA 5. —— Hay hojas esféricas centradas en un punto de topologicidad a, si Ex es un espcwio métrico y hay esferas conexas de radio arbitrariamente peque o centradas en la inwgen a de a. DEMOSTRACIéN: trivial. TEOREMA 6. —— Si EX : En la funcién Q : Q (E) definida en el conjunto de los puntOs de topologicidad, que a cwda punto le hace corresponder el radio de‘ la esfera maxima centrad'a en él es: continua. DEMOSTRACIéN: trivial. De acuerdo con el teorema 1, e1 conjunto T de los puntos de topologicidad es abierto. Si Ex es localmente conexo, de acuerdo con -el teorema 3 e1 conjunto de los puntos de topologicidad T es localmentc conexo, y por lo tanto sus componentes Ti seran dominios. Si ademés Ex es localmente conectado por arcos, dos puntos cualesquiera de una hoja H se pueden unir por una curva continua contcnida en H. Se deduce entonces que el conjunto de los puntos dc topologicidad es también localmente conectado por arcos y que por lo tanto dos puntos cualcsquiera de un mismo Ti se pucden unir por una curva continua contenida en Ti . Si Ex es localmente conexo y E es separable, hay a lo sumo una infinidad numerable dc dominios Ti. § 2. Prolongacién a lo largo de curvas 1. PRIMERAS PROPIEDADES. ——— Sea a un punto cualquiera de E y sea a su imagen. Sea X : f (7») 0 é l é 1 , una curva continua, que parte de a, f (0) : a, y que llamaremos C. Sea T un subconjunto conexo del intervalo I : 0 5 7» é 1 quc contiene a 7L : 0 (es decir que T es un intervalo cerrado o semicerrado contenido en I y que contiene a 7» : 0). Diremos que una curva continua E, : g (E) ls T es una prolongacién de a a lo largo de la curva C, si para todo lsT la imagen de g (7») es f0) . Diremos que la prolongacién cs incompleta si T es un subconjunto propio de I; en este caso g (7») no esta definidar para 7» : 1. Diremos en cambio que la prolongacion es completa si T coincide —274-— �con I; en este caso diremos que como resultado (10 1a prolongacién se obtiene el punto [3 2 g (1); y tamhién diremos que [3 es prolOngacio'n de a a lo largo de dicha curva 'C. Diremos que una prolongacién ‘es ordinaria si todos’ sus puntos son puntos de topologicidad; y también diremos que un punto es prolongacién ordinaria de otro si se obtiene a partir de ést'e como res-ultado de una prolongacién o-rdinaria. UNICIDAD DE LA PROLONGACIéN. TEOREMA. — Si E : g1 (M 7&8 T1 E : g2 (A) lsTg son prolongaciones de un punto a a lo largo de una misma curva, si una prolongacién es ordinaria, es g1 (71) g2 (71.) para tOdO )8T1 n T) . Este teorema se demuestra facilmente utilizando ei axioma de separacién de HAUSDORFF. TEOREMA. — Condicién suficiente para que una prolongacién de un punto as A sobre una curva C esté co'ntenida, en el oonjunto A, es que la; imagen de la frontera de A no tenga puntos cle C . DEMOSTRACIéN. — Una prolongacién de a sobre la curva C es una curva que no tiene ninglin punto en la frontera de A , y icomo es un conjunto conexo que tiene un punto 0.8 A , estaré contenida en A . INVARIABILIDAD LOCAL DE LA PROLONGACIéN. TEOREMA. —- Si Ex : En, y si {5 es prolongacion ordinaria de a a lo largo de una curva C , también es prolongacién ordinaria de a a lo largo de toda curva suficientemente pro'aiima a C , y que tenga sus mismos extremos, o diaho con mds precision, siendo x = f (M 0 é A é 1 la curva, 'C , se pue'dc determinar un 6 ml que es prolongacién ordinaria de a a lo largo de cualquier curva x : (p (A) 0 é 7L é 1 que tenga los mismos extremos que C , con tal que, cualquiera sea 71 , sea |f (71) -—« (p (7») | < 5 . DEMOSTRACIoN. — Sea g: g (M 0 élé 1 , g (0) : a, g (1) :: (3 la prolongacién ordinaria de a a 10 largo de la curva C , cuyos extremos son f(0) : a, f(1) : b siendo a la imagen de a, y b la imagen de [3. Sea G 61 conjunto de los puntos de la curva E : g (M . Este es un conjunto parcial del conjunto de los puntos‘ de topologicidad, y como en este conjunto esté definida y es continua la funcién Q : Q (E) que a cada punto 1e hace corresponder e1 radio (16 la esfera méxima c‘entrada en el punto, esta definida y es continua la funcién Q (3») : Q [g(7u)] 0 é A él , y como es 9 > 0., tiene un minimo 9m > 0. 9m Tomamos 5 : —. 2 Dividimos e1 intervalo 0 E 7» é 1 en 11 intervalos parciales M, é 7» é 111111 mediante los 11 —|— 1 puntos In (11 : 0, evidentemente 710: 0, 1,— del intervalo IL],__1 é A / A], se verifique . ., n) donde ‘ 9m lf(;\.i —-f(;\.h__1‘)’ é 6 Z -—— 2 —275-—— (1) �Pongamos Eh : g (M) , h : 0, . .., 11. Las imégenes de estoa puntos son xh : t) . Sea K1, la esfera maxima centrada en Eh, cuya ‘imagen sera una esfera Khx centrada en x1. de radio 9 > 9m . Digo que Eh pertenece a Kh_1 . En efecto, sea Ah cl arco de curva x = {(M lh_1 é 7L é k... Para los plmtOS de este arco se cumple (I), luego el arco Ah esté contenido en Kh_, ,x. En Kh_1 hay una prolongacion ordinaria completa de Eh_1 : g (lh_1) a lo largo de este arco; pero E : g (M lh_1 é l é Ah es también prolonga- cién de Eh_.1 a lo largo del mismo rarco, luego por la propiedad de unicidad coinciden y E : g (M’ M-) é 7x é h, esta contenida en Kh_1 y por consiguieme cl otro extremo Eh de este arco también esta en Kh_1 , que es lo que queria demostrar. Sea x : (1)0!) 0 é 7x é 1 una curva continua cualquiera, con los mismos extremos que la curva C , es decir con (p (0) : a q) (1) : b , y tal que para todo A sea 9m iopm —f(M}<6 :— 2 Llamemos B1, al arco x : (p (M , M4 5 i. 4 A“. Para todo 7L del intervalo 11,4 é k E In se tienc lc») — {(1114)} é Iopm — Hm + [HM — fun—1H < 9m luego e1 arco B1, esta contenido en Khnl Ix, y por lo tanto en Kh_1 1e correspondc un arco continuo E : \I’h 0” Mel é l é 7&1. cuyos extrCmos son _ . + + “Pu (Ah—1) Z (In—1 ‘1’}: 0m) 2' an 0to I (1 (In I B El arco siguiente E : mph“ (M empieza con su extremo ‘l’h+1 (lb) : — + . . a... El extremo 01,, se puede defmlr como el punto de Kh_1 cuya imagen es w (7“,) , y el punto ah+ se pucdc definir como el punto de K1, cuya imagen es también q) (11,) . Pero K.,._1 y K}, tienen un punto com n En luego Kh_1 U K}, es una hoja, y por lo tanto contiene un solo punto cuya imagen sea . . — + (p (Ah) , es decu‘ que ah : 011,. Los arcos de curva E : mph (M forman pues on rcalidad una sola (curva continua 1M0) 2 (10+: (1; E : 1|)(M 0 é 7k é l \pH) :. an—z cuyos extremos son y tal que x[1p (1‘)] : (pd). INVARIABILIDAD GENERAL DE LA PROLONGACIéN. TEOREMA. — Sea Ex: Eu. Suponemos que cualquiera sea t contenido en 0 é t £1 3 es pasible la prolongacién ordinaria completa de un punto a sobre la curva x = f (A t) 0 E l é 1 , que se deforma, al variar t mante- niendo fijos los extremes. En estas condiciones, el punto (3 prolon~ gado'n de a a lo largo de la curva no varia cualquiera sea t . — 276 -.— �La demostracion del teorema se has-a en el teorema anterior y es inmediata. 2. LA EXTENSIéN DE UNA PROLONGACIéN. —~ Vamos a plantearnos e1 problema de hasta donde se puede extender la prolongacion de un punto a dado sobre una curva C: x : HM 0 é )L é 1, dada, cuyo primer extremo es el punto a imagen de (1. En primer término observamos que si la prolongacién se puede proseguir hasta alcanzar un punto de topologicidad {3 : g (11] , y si no se ha llegado ya a] extremo de la curva ‘C (es decir si 7&1 < 1), la prolongacion se puede proseguir mas allé de [5. ‘Esto es asi en virtud de que hay un entorno de {5 que se transforma topologicamcntc en un entorno de su imagen b. Pero si tenemos una prolongacion E, : g (M definida en Oé l< l , no siempre seré posible extenderla incluyendo un nuevo punto g (1! . El siguiente teorema da condiciones suficientes para que esto sea posihle. TEOREMA 1. — Sea E : g (M 0 é l < 1 mm prolongacio'n incompleta del punto a sobre la curva continua C : x : f (l) 0 é 7L :3 1 de extremes a, I) . La prolongacién se puede completar definiendo g ( 1) : [3 si [3 es un punto que cumple las siguientes condiciones: 1) la imagen de [3 es 1) : {(1). 2) I3 es limite de oscilaci’én do E : g U») para 7L -> 1. 3) dado un ontorno arbitrario U de B hay un entorno V C U de {3 cuyos puntos frontera se transforman en puntos frontera de un entorno abierto Vb de b.‘ DEMOSTRACHM. ~— Sea U un entorno cualquiera de [5, y sea V C U un entorno de f) cuyos puntos fronteras se transforman en puntos fronteras de un entorno abierto Vb. Hay un 3 tal que la curva x : MM 1 —— 6 < k < 1 85151 contenida en V1,, y por la hipétesis 3) no contiene a la imagcn de ninglin punto de la frontera de V. For 1a hipotesis 2) hay un punto 7! del intervalo 1 —~ 3 < l < l tal que g (N) 8V. Por un teorem'a de § 2.1 es entonces g (A) 8V C U para 1—6<7»<1. Luegq g (M tiene limite [3, y si definimos g (1,) : [3 tenenlos una curva continua, que es una prolongacién completa del punto u a lo largo de la curva x : f0») , porque por hipotesis es X(B) :: f (1 ). TEOREMA 2. —- Si Ex : E", y si A C E es un conjunto compacto, la prolongacién de un punto de topologicidad aeA sobre unacurva C : x : f0!) 0 é 7L é l, cuyo primer extrema f(0) es la imagen a de a , se puede extender hasta alcanzar puntos situados fuera de A, si 1) x : x (E) es continua en A0. 7 Si ’Ex 2 En todo punto de topologicidad cumple esta condicién para el teorema \4 de § 1.3. ~277—— �2) todos los puntos de A0 cuyas imdgenes estdn sobre la curva x : 1'0») 0 < 7» é 1 (sin primer extrema) son puntos de topologicidad. 3) hay por lo menos un punto de la curva C que no es imagcn de ninglin punto de A . DEMOSTRACIéN. —— Sea E, : g (7») una prolongacion de a sobre la curva C que no es posihle extender mas. Sea 70 e1 extremo inferior de los puntos 7» E 0 tales que g (7») no existe o esté fuera de A. En primer lugar demostraremos que 3., : g (7&0) existc, es decir que en 70 esté defi‘nida la funcién g (7») . Si 7,, : 0 esto se cumple pues g(07 : a. Si 7»0 > 0 como A es compacto, Ia curva E : g (7») O é 7» < 7»., que esta contenida en A , tiene en A0 alglin limite de oscilacion E0 para 7» —> 7»0, cuya imagen por la continuidad de x : x (E) es f(7»(,b . Por 1a hipotesis 2‘! ese punto es un punto de topologicidad. Por e1 teorema anterior 1a curva E : g (M 0 é 7» < M, tiene limite 3., para 7. ‘> 7,” luego esc 1imite es prolongacién de a sobre la curva x : H7») y por lo tanto pertenece a la curva E :4 g (7») . Si E0 no pertenece a A, e1 teorema esté demostrado. Si EOEA , es 7t“ < l, porque hay por lo menos un punto de C quc no es imagen de ninglin punto de A. Como En es un punto de topologicidad, 1a prolomgacion E : g0») sigue mas allé de 70. Few 7H. era e1 extremo inferior de los puntos 7» en que g (7») no existe o esté fuera de A, y como a la dcrecha de 7»0 esté definida g (7») , se deduce que a la derecha de 7»., hay puntos 7» en que g(7») esté fuera de A. TEOREMA 3.— Sea A un conjunto compacto, formado por puntos de topologicidad, que se transform en un conjunto contenido en un conjunto abierto AX y cuya frontera se transforma en un conjunto contenido en la frontera de Ax . Si x : x (E) es continua en A°, la prolongacién de un punto cualquiera as A es siempre posible a lo largo de cualquier curva C contenida en Ax. Como esta prolongacién par un teorema anterior estd contenida en A, se deduce que si Ax es conectado por arcos la imagen de A es Ax . DEMOSTRACIéN.~~— Sea x : f0») 0 é 7» é 1 1a curva C. Su primer extremo sera f(0) : a, siendo a la imagen de a. Sea 7»' cl extremo inferior de los puntos 7» E 0 en los cuales 1a prolongacion g (7») no se puede definir. Seré 7»’ > 0 porque siendo a un punto de topologicidad, g (7») estaré definida en un entorno de 7» : 0. Por un teorema anterior la curva E : g (7») 0 é 7» < 7»’ esté contenida en A . Como A es compacto, esta curva tiene un limite de os-cilacion [3 para 7» —+ 7.’ , cuya imagen por la continuidad de x : x(§) en A0 seré x’ : f (7!) que pertenece a Ax, por 10 coal [3 perteneceré a A y seré por lo tanto un punto de topologicidad. POr e] teorema 1 e1 punto B debe agregarse a la prolongacion, y como ésta no sigue més alla die [3 se deduce que 7»’ : . — 278,— �§ 3. 1. Puntos Pa "‘1 - - - km) EJEMPLos DE PUNTOS REGULARES. — Recordaremos que un pun- to (1 es regular si x : x (E) es continua en a y es localmente topo- légica en un entorno reducido de a . Se llaman transformaciones abiertas a las que transforman conjuntos abiertos en conjuntos abiertos; y transformaciones interiores a las transformaciones abiertas continuas. Diremos que una transformacién es locqlmente abierta en un punto a si transforma entornos de (1 en entornos de su imagen; y diremos que es localmente interior en (I si es continua y localmente abierta en a. Siguiendo a REY PASTOR [l] llamareinos puntos de retroceso a los puntos en que una transformacion es continua pero no es localmente abierta. Es conveniente presentar ahora algunos ejemplos tipicos de puntos regulares porque estos ejemplos aclararén cl significado de la definicién de los puntos Fn (k1 . . . km) . EJEMPLO 1. — Un punto regular correspondiente a Ex 2 E1 es el punto a de la fin. 1. E1 espacio E es un espacio y subordinado de E2 cuyos puntos son los de las lineas que pasan por el punto a ; e1 espacio Ex : E1 es el eje 0x. La correspondencia x : x (E) es la que cada E le hace cones-ponder el punto I) x que es su abscisa, es decir que esté situado en la misma paralela 3 0y. Se ve que en el punto regular a la transformacién x 2 x (E) es localmente interior. 0 EJEMPLO 2. — Si suprimimos las lineas situadas a la izquier-da de a, este punto sigue s-iendo FIG. 1 regular, pero con la diferencia de que ahora es un punto de retroceso y de que ademas E es localmente homeomorfo a E1 en (1. Es conveniente observar que en estos dos ejemplos sale un n mero finito de ramificaciones (lineas) del punto a; esto siempre sucedera micntras a sea regular y el espacio localmente compacto (en el sen'tido de Fréchet! en a. E sea EJEMPLO 3.—Consideraremos ahora algunos ejemplos en los que Ex = E2. E1 mas simple es el del punto E = 0 para la transformacion x : E2 donde XE son variables complejas. Fm. 2 EJEMPLO 4.—Otro ejemplo‘sencillo de punto regular correspondiente a Ex 2 E2 esté ilustrado por la fig. 2, que esta dibujada en perspectiva. El espacio E esta formado por los puntos de la superficie lateral de dos conos de revolucion unidos por el Vértice y cuyo eje es paralelo a y; Ex es un plano perpendicular a 0y y x = x (E) -—279—~ �es la transformacion quexhace corresponder a cada punto E e1 punto x situado sobre la misma paralela a y. En este caso la superficie lateral del cono superior, se transforma topologicamente en un circulo centrado en a, y pasa lo mismo con la superficie lateral del cono» inferior. EJEMPLO 5. —— Un cjemplo mas complejo, que es una combinacion de los dos anteriores, es el siguiente: e1 espacio E es la union de dos circulos sin puntos comunes D1D2 pertenecientes a un mismo plano complejo (tomaremosv los circulos sin sus centros a1 a2) més un punto a exterior a ambos circulos. Los cntornos son los entornos ordinarios, excepto para el punto a, cuyos entornos son union de un entorno de (11 y un entorno de (12 en los cuales se hace la nica modifica- cion de camhiar los puntos (11 (12 por a. El espacio EX es simplemen‘te un plano complejo. La transformacién X(E ID1)_ es x : (t — a1)2, la transformacion x(_E EDg) es x : (E — (13W, y ademas 'es x(a) : 0. Si hubiéramos tomado los dos exponentes iguales a 1 , tendriamos el caso anterior de los- dos conos. EJEMPLO 6. —— En el caso Ex 2 E3 se puede construir un ejemplo en forma similar :11 anterior, tomando dos esferas en lugar de los dos circulos, y tomando exponentes iguales a 1. 2. TRANSFORMACIONES LOCALMENTE EQUIVALENTES. — Diremos que la lransfornmacion x : x (E) en el punto a cuya imagen es 3 , es lo- calmente equivalente a la transformacién y = y (1]) en el punto [3 cuya imagen es 1) , si hay una correspondencia topologica T entre un entorno U do a y un entorno V de [5 que transforma a1 punto (1 en el punto B y otra correspondencia topologica Tx entrc -un entorno Ua que contiene a X (U) y un entorno V1, que contiene a y (V) , tales que si 3; 1'] son puntos correspondientes mediante T sus imagencs se corresponden me‘diante TX. Es inmediato que se cumple la propiedad transitiva: si x : x (E) on (1 es localmente equivalente a y : y (1]) on [3 e y : y (7]) en [3 es localmente equivalente a z : z (C) en y, entonces x : x (E) on a es localmente equivalente a z : z (C) en y. TEOREMA 1. *— Condicién necesaria y suficiente para que la transformacio'n x : x (E) continua on a sea localmente equivalente en ese punto a la, transformién y : y (7]) en [3, es que se pueda establecer una correspondencia, topolégica T entre un entorno abierto U (18 a y un entorno abierto V de [3 que transforme al punto (1 en el punto {3 y otra correspondencia topolégica Tx entre un entorno abierto Ua D x (U) y otro entorno abierto Vb 3 y (V) de tal manera que si E 1] se corresponden mediante T sus imdgenes x (E) y In! so correspondan mediante Tx . DEMOSTRACIoN: trivial. . TEOREMA 2- — Si X = x (E) en (1 es localmente equivalente a Y 7: Y (7]) en {5 se tiene: I) si x : x (E) es continua en a, y : y (q) es continua on B. —280—— �2) si x = X (E) es localmente interior en a, y = y (1]) es localmente interior en [3. 3) si x = x (E) es localmente topolégica en a, y z y (1]) es ‘ localmente topolégica en [3. 4) si x : x (E) es regular en a, y : y (1}) es regular! en [3. DEMOSTRACIoN: trivial. 3. PUNTOS F (k1 km). — Sea F un conjunto finito 0 mm sucesion de transformaciones Z : fl: (:1) de E’ 3 E7‘ que hacen corresponder a1 punto yeE’ un punto (38Ez y que son continuas en y. Diremos que un punto as E es un punto F (k1 km) para la transformacion x : x (E) si hay un entorno abierto A de a tal qua: A —— (a) se divideS en m conjuntos ahiertos desunidos Ah, y si se puedc establecer entre cada Bh : Ah U (a) y un entorno U1, de 'y una correspondencia topologica Th que transforma (1 en y y otra correspondencia topologica Tx entre un cntorno Ua de a : x ((1) Que contiene a las imégenes de. todos 105 B], y un entorno Uc de 0 que contiene a todas las imagcnes f“. (Uh)as dc tal mancra que si E C se corresponden mediante Th sus imégenes x (E) f“, (C) so corres- ponden mediante TX. Dehemos aclarar quc no es neccsario quc 105 k}, scan todos.» distintos; no hay inconvenientc en que hayan repeticiones, cs decir que sea kh' : kn" para 11’ % h". Ademés es evidente que el tipo de punto definido ahora no dependc del orden en que se escrihan los n mcros kh . Se puede demostrar fécilmente que si (1 es un punto F (k1 . . . km) dado arbitrariamente un entorno U de a se puede encontrar an entorno abierto A’ C U que tenga las misms propiedades recién enunciadas del entonno abierto A. TEOREMA l. H Si (1 es un punto F (k1 . . . km) la. transformacién x : x (E) es continua en a. DEMOSTRACION. ~ Como (1 es un punto F (k, . . . km) hay un en- torno abierto A que so divide en el punto a y en un mimero finito In de conjuntos ahiertos A. de ta] modo que siendo B1, : Ah U (a) cada transformacién parcial x (E[Bh) en (1 es localmente equiva- lente a la transformacién correspondicnte z : fkh (E) en y. Como estas- transformaciones son continuas en y, las transformaciones x (E [ B1,) son tamhién continuas en (1. Como A es la union de 11m n mcro finito dc conjuntos Bl, todos los cuales contiencn a a, por el criterio 4) de continuidad local de § 1.1 x(E [A‘J es continua en a; y como A es abierto x : x (E) es continua en a. " (Decimos q-ue un conjunto se divide en olros conjuntos. (‘uando éstos son desunidos, es decir no hay dos de tales conjuntos que tengan un punto comlin, y su union es el conjunto dado. ‘* En lo sucesivo, 10s subindices kh deben leerse k“. —281—~ �TEOREMA 2. ;_. Si el punto (1 es un punto F (k1 . . . km) para la transformacién x : x (E) condicién necesaria y suficiente para que la transformacién y : y (7]) en [3 sea localmente equivalente a x = x (E) en (1 es que [3 sea un punto F(k1 km) para y = y (n) . DEMOSTRACIéN. —— Como utilizaremos solamente el hecho de que esta condicién es necesaria, omitiremos, para ser mas breves, la demostracién de que también es suficiente. Supongamos que x — x (E) en (1 es localmente equivalente a y r: y (7}) en [3. For 10 tanto se puede establecer una correspondencia topolégica T entre 1m entorno abierto U de a y un entorno abierto V de [3 que transforma (1 en [3 y otra correspondencia topolégica TKy entre un entorno abierto U3l D x (U) y un entorno abierto U1, 3 y (U) d-e tal manera que si dos puntos E 1] se corresponden mediante T sus imégenes x y se corresponden mediante Txy. Como (1 es un punto F (k1 .. . km) tiene un entorno abierto A C U tal que A —— (a) se divide en m conjuntos abiertos Ah tales que siendo Bh : Ah U (a) hay una correspondencia topolégica Th entr-e Bh y un entorno Uh de y que transforma (1 en Y y una correspondencia topolégica Tx entre un entorno U’a D x (Bu) y un entorno U0 3 fkh (Uh) tales que si E C se corresponden mediante Th sus imégenes x z se corresponden mediante TX. Como Bh C A CU, yera x(U) C Ua es x(Bh) C Ua. Sea entonces U”a — ’a n U8 y sea U”c su imagen mediante TX. Seré tamhién U”n D x (B1,) y U”c D fkh (Uh) . En la correspondencia topolégica T entre U y V a] entorno abierto A C U 1e corresponde un entorno abierto A’ tal que A’ — ([3) se divide en m conjuntos abiertos A’h correspondientes a los Ah y a 105 B], 16 corresponden 10s B'h — ’1, U (f3) . Al entorno U”,l C Ua le corre—sponde en U1, mediante TKy un entorno U”b tal que U”h 3 y (B’h) . El producto de la correspond-encia Th Con la correspondencia t0polégica entr-e Bh y B’h establecida por T es una correspondencia topolégica T’h entre 3’}, y Uh que transforma [3 en y; y el producto de la correspondencia T”x con la correspondencia T”Ky que la Txy subordina entr-e U”c y U”b es una correspondencia topolégica Ty entre U”c y U”b y se cumple que si 71C se corresponden mediante T’h _sus imagenes y z se correspond-en mediante Ty; con 10 cual queda demostrado que (3 es un punto F (k1 . km) para y = y (n)4. PUN'ros FIn (k1 km). — DEFINICIéN DE PUNTOS F1 (p q) . — Llamaremos F1 a1 c‘onjunto de las dos transformaciones z : £11 (1;) z : f12(?;) definidas de la siguiente manera: E’ es una semirrecta cerrada cuyo extreme es y ; y Ez es una recta. Las dos transformaciones hacen corresponder a y un mismo punto c pero in (C) transforma topolégicamente a E’ en una semirrecta de extreme c y la ——282—— �otra transformacién ['12 (C) transforma topolégicamente a E’ en la otra semirrecta de extremo 0. En lugar de de‘cir, de acuerdo con la definicién .de punto F1 (k1 . . . km) , que el punto (1 es un punto F1 (1, ..., 1; 2, ..., 2) donde el 1 figura p veces y el 2 figura q veces, diremos brevemente que el punto ()1 es un punto F1 (p q) . Evidentemente es lo mismo decir que es un punto F1 (p q) 0 un punto F1 (q p) . En el ejemplo 1 de § 3.1 e] punto 00 es un punto F1 (3,2); (en el ej-emplo 2 e1 punto (1 es un punto F1 (0,2) . DEFINICIéN DE PUNTOS F2 (k1 km). — Llamaremos F2 a la sucesién de transformaciones- (11:1, 2,...) Z:f2k(C)=Ck siendo z E; variables complejas; estas transformaciones se consideran extendidas a todo el plano complejo E’ ; y como punto y tomamos e1 origen y : 0, a1 cual todas las trans-formaciones lo transforman en el origen z : 0 del plano E.z . En el ejemplo 3 e1 punto E = 0 es un punto F3 (2); en el ‘ejemplo 4 e1 punto 0: es un punto F2 (1 , 1) y en el ejemplo 5 es un punto F2 (2,3) . DEFINICIéN DE PUNTOS Fn (k) (CON n E 3). —— Llamaremos F11 a1 conjunto formado por la transformacién {mica Za1(C) 2?; donde E’ : EZ : En. En lugar de decir que un punto (1 es un punto Fn (1, .. ., 1) dvonde e1 1 figura k veces, diremos simplemente que es un punto Fn (k) . Asi por ejemplo en el ejemplo 6 e1 punto (1 es un punto F3 (2) . TEOREMA.—— Si Ex : En y si (1 es un punto Fn (k1 km) dado an entorno U do a, se puede determinar una esfera arbitrariamente pe‘qae a K centrada en la imagen a do a y un dominio D C U que contiene a a y tal que D —— (a) se divide en 111 dominios desunidos Dh de tal manera que: I) si 11 E 3 cada Ch : D], U (a) se transform topologica- mente en K . 2) si 11 = 2 se puede hallar una correspondencia topolégica Th entre Ch y un circulo K11 del plano cdmplejo E’ , con centro en el origen C = 0, al cual corresponde en Ch el punto a, de tal manera que considerando también a x como variable compleja, si E C se corresponden mediante Th es x (E) : a + Cku. 3) si 11 : 1 la esfera K es un intervalo I cuyo punto medio es a, y es por lo tanto la unio’n de dos intervalos semicerrados 1" 1+ cuyo linico punto comlin es a. Ademds como ya sabemos, las variables kh solo pueden tomar los valores 1, 2 y si hay p variables kh que tienen el valor 1 y q que tienen el valor 2 ,es decir si 01 —283— �es de tipo F1 (p q) , 'hay p conjuntos Ch que‘ se transforman topolégicwmente en uno de los intervalos semicerrados 1— 1+ y q conjuntos (C1, que se transforman topoi'égicamente en el otro intervalo se-micerrado. DEMOSTRACIéN. — En la primera parte de la demostracién, estudiaremos conjuntamente los tres casos- n E 3 , n = 2 y n = 1 , y como propiedades de los espacios Ex, Ez, E’ y de las transformaciones fnkh (CV utilizareinos solamente las siguientes: 1) e1 espacio Ex es un espacio métrico en el cual todas las esferas son dominios. 2) e1 espacio- E’ es tal .que si C’ es un dominio que contiene a y, D' : C.’ —— (y) es también un dominio. 3) las transformaciones. z : fnk (C) a) la preimagen de c mediantc 'cualquier transformacién fnk (C) 1)) c) son tales que: se reduce a1 punto y. la preimagen dc un dominio Cc que contenga a 0 es un dominio C’. dado un entorno U de y hay un entorno Uck de (3 cuya preimagen mediante Siendo fm‘ (C esté contenida en U. a un punto Fll (k1 . . . km] dado un entorno U de a hay un entorno abierto A C U dc a tal que A m (a) se divide en m conjuntos abiertos desunidos Ah y hay una correspondencia topolégica T’G. entre cada 31,: An U (a) y un cntorno U1, de y que transforma (1 en y y otra correspondencia topolégica T”x enlre un entorno Ua de a : x (a) que contiene a las imzigenes de todos los B1, y un entorno Ut. que contiene a todas las imégcnesfnkh (U1,) siendo estas correspondencias tales que si E C 36 corresponden mediant-e T”1. sus imégenes X(E) f1]kh(.C’ so corresponden mediante T"x. Tomemos una esfera K C Ua arbitrariamcnte peque a, y tamblé suficientemente pequeiia para que su imagen mediante T”X, que es un dominio CC que contiene 0, tenga btodas sus prcimagenes Ch mediante las transformacioncs af ning) (:11 n Uh. La preimagen dve Cc —— c mediante fnkh es D’h : C’h —— (Y) que es un dominio. . Sea C1, cl dominio (en B1,) (1110 corresponde a C’h mediante T”h, el cual contienc a a; y sea D1. : Ch —— (0H cl dominio (en ‘ Ah y por tanto en E) que co'rresponde a D’h. D : U Ch es un dominio que tiene estas propiedades: esté contenido on U, contienc a a, y es tal que D ~— ((1) se divide en m dominios desunidos D1, de modo que: 1) la imagen de todo Dh esté contenida en K __ (a) . 2) se puede establecer una correspondencia topolégica T’x (correspondencia parciaI-de T”x) entre K y un dominio Cc que con* En lo sucesivo, los subindices nkh deben leerse nkh. —284-« �tiene a c y una correspondencia topolégica T'h parcia] dc T”ht cnlrc cada 'Ch : D], U (a) _1 _ (correspondencia y el dominio C’h : , fnk], (Cc) que transforma (1 en 7, y tal que 81 E C se corresponden mediantc T’h sus imégencs x (E) diantc T’x. fnkh (C) se corresponden me- Consideremos ahora 10s distintos casos particulares. Case n E 3. —- En este caso las transformaciones fnkh (C) se reduccn a una sola, fnl (C) que transforma topolégicamente a todo C’,, en Cc (y por cl tcorema dc unicidad de la hoja todos los C", coinciden). La correspondencia parcial x : x(E I Ch) cs entonces 01 pro- ducto del homeomorfismo T’h per 01 homeomorfismo {"1 (f; I C’l.) y por el homeomorfismo T'x; lucgo es un homeomorfismo que transforma Ch 011 K. Caso n : 2 . —— Consideremos las transformaciones x : (pkh (C) = a —I— Zkh donde x 56 considera como variable compleja. La preimagcn del circulo K , mediantc la transformacién (pm. (CI sera un circulo K1, centrado on E; : y : 0. Entre Kn y C’h cxiste un homeomorfismo T”h ta] que si C'sC’h y {K’sKh sc corresponden median‘te T”h, sus imégenes z : fm, (2’) y x : CPkn (C") Sc corresponden mediantc c1 homeomorfismo T'x que transforma K en Cc. El producto de los homeomorfismOS T'h T”), as entonces un homeomorfismo T1, cntre Ch y K., tal que si E C so corresponden mediante T1. es x (E) : a —I— Ckh. C350 11 : 1 . —— En este caso las transformaciones fm. (CW se rcduccn a dos solamente: {11(C) y f12(CI . El dominio 'Cc es un intervalo abi-erto L. que contiene a z : c, que es la unién de dos intvervalos semiccrrados L.‘ IQL cuyo nico punto com n es c . Supongamos que hay p variables kh que valcn 1 y (1 variables que valen 2. Los p dominios C’h corr‘cspondientes a aquellas p variables k1. se transforman topolégicamenle mediante flknFQ) : f“ (C?) en uno de los intervalos semicerrados L.“ 19+ , y 108 q do- minios rcstantes se transforman topolégicamente mediante f12(§) en el otro intorvalo scmicerrado. La esfcra K es también un intervalo abierto I qu-e conticne a a y es también la unién de dos intervalos semicerrados '1— I+ cuyo nico punto conuin es 3. El h'omeomorfismo T'x transforma a If“ en uno- de los intervalos 1‘ 1+ y transforma a L.‘ en el otro inter- valo. La transformacién x 2 x (E I Ch) cs por lo tanto e1 producto de los homeomorfismos T’h fkh y T'x; es por lo tanto un homeo- morfismo. Hay p conjuntos C1. que se transforman en uno de los intervalos I" I+ y 105 q restantes se transforman en 61 otro intervalo. * En lo sucesivo, los subindices lkh deben leerse 1k,,. —-285— �§ 4. El ieorema de inversion local en los puntos regulates Empleando una terminologia usada por J. REY PASTOR [l] llamaremos puntos conjugados a los puntos que tienen una misma imagen; y llamaremos puntos de estriccién a los puntos de acumulacion del conjunto de sus conjugados. TEOREMA 1. Condiciones suficientes para que un punto no sea punto de estriccién. —— Sea E un espacio regular 9, localmente compacto, que satisface el primer axio'ma de numerabilidad 10, y sea Ex : En. ' Condicién suficiente para que un punto 0! no sea punto de estriccién es que 1) x : x (E) sea continua en un entorno U’ de a. 2) haya un entorno U” de a y una curva simple C , uno de cuyos extremos es la imagen a de a, tal que todos los puntos de U” (con la sola excepca‘én de a) que tengan sus imagenes en la curva C , scan puntos dc topologicidad. DEMOSTRACIéN. ~ En primer lugar, dc 1a hipétesis 2) se deduce que Ios puntos de U” cuya imagen es a son punto; de topologicidad y por lo tanto solo resta demoslrar que hay un entorno U de or en el ‘cual no hay puntos de topologicidad distintos do a cuya imagen sea a. Sea U0 un entorno de a contenido a la vez en U’ y U” y suficientemente pequc o para que haya algun punto de la eurva C que no tenga preimagenes en U0. Como E es regular y localmente compacto, podemos tomar un entorno U1 compacto y tal que U01 C U0. El entorno U1 es por lo tanto un conjunto compacto que tiene estas pro-piedades: l) x : x (E) es continua en U01. 2) todos Ios puntos de U“1 cuyas imagcnes estan en la curva C (con la sola posihlc excepcién del punto on, son puntos dc topologicidad. 3) hay por lo menos un punto de la curva C que no es imagen de ninglin punto de U1. Vamos a demostrar e1 teorema por el abs-urdo. Si (1 es punto de estriccién como E satisface el primer axioma de numerabilidad, hay una sucesién ((anl) formada por puntos de topologicidad distintos ” Recomdacmos que un esrpacio se llama regular si es un es-paeio de Hausdorff que cumple e1 tercer axioma de separacién (axioma de Vi‘etoris): si ‘un punto a no esta contenido en un conjunto cerrado C hay un entorno de a y un entorno ‘de ‘C que no tienen puntos comunes. "' El primer axioma de numerabilidad (HAUSDORFF, Mengenlehre, pég. 229) dice: dado un punto cualquiera a, hay una sucesién ((1111)) de entornos de 0. tal que dado un entorno cualquiera U de a, hay un U" C U. —286— �de a y distintos entre 31' que tiende a a y tal que para todo (1,. es x (an) :: a. Evidentemente puedo tomar todos los en an contenidos U1. Sea x. = {(1) O é 1 é l, {(0) : a, la curva simple C. For el teorema 2 de § 2.2 cada an se puede prolongar sobre la curva simple C obteniéndose una curva E : gn (1) que sale de U1. Sea 7m e] extremo inferior de los puntos 7» E 0 tales que gn (l) esté fuera de U1. El punto Bu : gn (1n) estara en la frontera fU; de U1 y la curva E : gn (1) 0 é A é 7m estaré contenida en U01 y por lo tanto f-ormada S610 por puntos de topologicidad (el punto a no pertenece a gn (A) porque gn (0) 2 an 7é a y porque fOL) 7E a si 1 > O. Todos los puntos [3,, son diferentes. En efecto, si hubiera dos iguales [3n 2 [3m sus imégenes serian igual-es, es decir f (1“) : f (1,“) luego 1n : 1m : 1’ y entonces 10s puntos distintos an y am se po- drian obtener por prolongacién ordinaria de un mismo punto [3n : B". a 10 largo de una misma curva x : {(1) 0 é 1. 4 1' , lo cual es , absurdo. \ Como U1 es compacto su frontera {U1 a la cual pertenecen 10$ puntos [3,, yes compacta en 51', y por lo tanto contiene un punto {3 que es de acumulacién de los n. Por la continuidad dc x : x (E) e1 punto b imagen de [3 pertenece a la curva C, y por la hipétesis 2) e1 punto {3 es- un punto de topologicidad. Hay un entorno V de [3 y un entorno V., de 1) en correspondencia topologica. Hay un arco de curva F : x : f0») 1’ <_ 7» < A.” que contiene a b y que estzi contenida en Vb. Los puntos de V cuyas imégenes son punto de ese arco forman otro arco G I E : g0») 1’ < 7» < 7.” tal que la imagen de g(1| es {(1). Hay un entorno W], tal que los puntos de C contenidos en Wb pertenecen a1 arco F. [Hay un entomo W C V de [3 tal que su imagen esté contenida en Wb . 'Como es punto de acumulacién de 105- [3,, hay infinitos [3n contenidos en W; sus imégenes pertenecen a C y a Wb luego per- tenecen a F y_ por lo tanto 6808 [3,, pertenecen a C, y son por consigui-ente prolongaciones unos de otros a lo largo de la eurva C, 10 "-\ cual es absurdo. LEMA. —— Si E es un espacio regular, localmente compacto y si Ex 2 En, dado arbitrariamente un entorno U de un punto a se puede determinar una esfera K centrada en la imagen a de a, un entorno abierto A C'U de a, y un conjunto cerrado y compacto on si X C A , de tal modo que los puntos de A —— X tengan sus imdgenes fuera de K, si se cumplen las condiciones 1) 2) o bien las condiciones 1) 2’ ) que se enuncian a continuacién: 1) la transformacién x : x (E) es continua en todos los pun-'03 de un entorno U’ de a. 2) el punto a no es punto de estriccién. —-287—- �2’) el espacio E es normal 11; y dado arbitrariamente an entorno U de a hay un entorno abierto A C U do (1 en cuya frontera no hay puntos de imagen a . DEMOSTRACIéN. Caso 1. Se cumplen las condiciones 1) 2). Como cl punto a no es punto de estriccién, podemos tomar un entorno compacto U1 ‘contenido en U y on U’ , tal que en él no hayan puntos distintos de a con igual imagen a que a. Tomamos un entorno abierto A de a tal quc A" C U1. Luego A“ es compacto en 51' y todo punto .de A0 distinto de a tiene imagen distinta de a. Hay un entorno ahierto B tal que B0 C A . Ponemos X : B0 9 Iuetro X es com acto en sf 1') estzi contenido en A. E1 conjunto A0 —— B es cerrado, lucgo es compacto en si. Como x : x (E) es Mnua en A0, su imagen en Ex es un conjunto compacto en si que no contiene a x = a , luego estai fuera de una esfora K centrada en a. A —— X esté contenido en A0 — B , luvego también su imagen esta fuera de la esfera K centrada en a. 'Caso II. Se cumplen las condiciones l) 2'). Tomamos ‘como antes un entorno U1 compacto, contenido en U y tal que U01 esté contenido en U’ . Tomamos un entorno abierto A Acontenido on U, tal que en la frontera de A no haya puntos cuya imagen sea a . Sea C 61 conjunto de los puntos E cuya imagen es a. Como x 2 x (E) es continua en todos los puntos dc U01 y por consiguiente en todos los puntos do A“, e] conjunto C n A0 es cerrado. Pero es C n A0 : C n A porque en la frontera de A no hay puntos dc C . La frontera F de A es cerrada y no tiene puntos comunes con el conjunto cerrado C n A, lu‘cgo, 001110 E cs normal, hay dos conjuntos ahi-ertos C y ‘G’ desunidos, y tales que C n A C C y F C G’. For ser (3' abierto sera también G" n G' : 0, luego C0 no tiene puntos de F . El conjunto X : G” n A0 es un conjunto cerrado, pero 001110 C" y F no tienen puntos comunes, este conjunto es igual a G0 n A. Como X es cerrado y contcnido en U‘H, cs compacto on Si; por la misma razén A0 — G es compacto en si. La imagen de A0 — G es un conjunto compacto en 51' que no contiene al punto a, luego esta fuera de una esfera K centrada en a , es decir que los puntos de A0 — G tienen imégenes fuera de esa esfera K. Lo mismo vale para los puntos de A —. X pues este conjunto esté contenido en el anterior, y el lema esté demostrado. TEOREMA 2. — Si E as an espacio regular, localmente compacto, y Ex : En, dado arbitrariamente un entorno U de un punto a se puede determinar una csfera K centrada en a : x (a) y un entorno abierto ‘C C U de a, compacto, que se transforma en un conjunto ” Un Aespacio se llama normal, si es un espacio de Hausdorff ‘que cumple el cuarrto axioma de separacién (axioma de TIETZE): dos conjuntos cerrados desunidos tienen entomos desun‘idos. —288—-— �contenido en K , y cuya frontera (si existe) se transforma en un con- junto contenido en la frontera de K, siempre que se cum-plan las condiciones 1) 2) o bien las condiciones 1‘) 2’) que se enuncian a continuacion (y que son las mismas del lema anterior): 1) la transformacién x : x (E) es continua on todos los puntos de un entorno U’ de a. 2) el punto a no es un punto de estriccion. 2’) el espacio E es normal; y dado arbitrariamente un entorno U de a hay un entorno abierto A C U de (1 en cuya frontera no hay puntos que tengan la misma imagen a que a. DEMOSTRACIéN.~ For 61 lema anterior se pucde determinar una esfera K centrada en a, un entorno abierto A de (1, contenido en U y en U’ y un conjunto ccrrado y compacto en si X C A, de ta] man-era que 105 puntos de A — X (si existent tengan sus imégenes fuera de K. E] conjunto C formado por los puntos de A que tienen sus imégenes en K, es entonces abierto en A, y por lo tanto tamhlén en E. Evidentemente es C C X C A, y como X es cerrado, C0 C X C A, 0 sea que todo punto [3 que es frontera de C pertenece a A y por tanto es un punto en cl cual x : x (E) es con- tinua; luego su imagen b pertenece a K0 pero como C era e1 conjunto de los puntos de A cuya imagen estaba en K , y [3 pertenece a A —— C , su imagen no estzi en K , es decir que esté en la frontera de K. TEOREMA a. , , Si Ex : E2 y si D es un dominio compacto en el cual x : x (Eb es localmente topolo'gica, que se transforma on K — (at, sicndo K un circulo centrado en la imagon a de a, y si x : x (ED es continua en D“, y (1 es el Linico punto do I)“ cuya imagen es 3 , es lo mismo decir que: 1! se puede establecer una correspondencia topologica T entre B : D U (at y un circulo C I it] < 9 del plano complejo E', que transforma a (1 en 2; : 0 ml que si dos puntos E Q se corresponden es, considerando también a x como variable complcja o bien decir que: 2) el conjunto B : D U (at es la union de k curvas continuas en que tomadas dos a (103 tienen en comzin solamente el punto 0t , cada una de las cualcs se transforma topolégicamente en un mismo radio r (incluyendo el extremo a.);y de k dominios desunidos Dh cada uno de los cuales se transforma topolégicamente en; K — r ; siendo todo punto de en distinto de a frontera de D,,-1 y do Dh y exterior a todos los demds D1. DEMOSTRACION. Es fécil demostrar- que si se cumple 1) se cumple 2'); como ademés no necesitaremos esta propiedad en 10 sucesivo, —289— 1’) �demostraremOS solamente, para lograr mayor brevedad que si se cumple 2) se cumple 1). Si b.cs un punto de r distinto de a y si [321 es el punto de ch cuya imagen es 1), como los Bu son puntos de topologieidad, hay un circulo Kb con ccntro b, contenido en K y que no contiene a a , tal que hay k esferas Kb cada una centrada en [3,, que se transforman topologicamente en Kb . .a . El radio r divide a Kb en dos semicirculos abiertos, uno K’b situado debajo de 1' (ver fin. 3) y otro K”b situado en- cima de r y en el diémetro que los separa. Per 10 tanto cada curva c1, divide a la esfera Kn en dos hojas una K’h que se transforma en K’l, otra K”h que se transforma en K’ , y en el arco de curva ch FIG. 3 que las separa. *Com'o {3}. es punto de acumulacion de Dh_1 y de D1, en Kn hay puntos de Dh_1 y de D1], 105 cuales no estan en ch y por lo tanto estan en K’h 0 en K”h. Si K’h tiene un\ punto de Dh_1, por el teorema 4 de § 1.2 es K’h C Dh_1 y por lo tanto K’h no ticne puntos de D1,. Luego 'K”h tiene puntos de D1. y por lo tamo K’’h C D]. . . ningl'm comun pues cualesqui-era K1, tienen punato Dos esferas no en ese caso coincidirian por el teorema de unicidad de la hoja, lo cua] no sucede porqu‘e los dos puntos [3h correspondiente-s son distintos. Como 10s puntos de Db cuya imagen esta en K”b pertenecen a K”h, Dh no ticne puntos de K”h+1 luego K.’h+1 C Db. Se deduce por lo tanto que hay dos posibilidades: que sea K”h C D1, y K’h C Dh_1 para todo h, o bien inversamcnte K”h C Dh_1 y K’h C Db. Por continuidad se deduce que pasa lo mismo para 105 demas puntos dc cada curva ch (exceptuando al punto (1). En el primer caso diremos que D1, 56 ac-erca a ch por la parte superior y que Dh_1 se acerca a ch por la inferior; y en el segundo caso diremos lo contrario. , Sea C e] circulo |C| < 9 del plano complejo E’, que se transforma en K mediante 1a transformacién x : a + Ck (dond-e 36 con» sidera también a x eomo variable compleja). Sean rh los radios del circulo C (numerados en tal forma que en el angulo agudo formado por rh rh+1 no haya ning n otro radio), que se transforman en r . Estos radios determinan k sectores abiertos Ch, si-endo Ch e1 sector comprendido entre rh y rh+1 (como Ch t0mamos e1 sector ahierto, es decir sin ningt’m punto de ti, ni de rh+1 ). Ademas suponemos que se ha hecho la numeracién en tal sentido que si ‘Dh se acerca 8 ch por la parte superior, también Ch se acerca a rh por la parte superior; y analogamente en caso contrario. Definamos una transformacién uniforme C 2 f (E) haciendo corres-ponder a cada punto E de un dominio Dh e] punto C del sector —— 290 —_ �Ch dc] mismo subindi‘c-c que tiene igual imagen x ; y analogamente haciendo corresponder a cada punto E de un arco ch el punto del radio rh dc igual subindice que tiene la misma imagen x.; Es evidente que E : f(E) establece una correspo-ndencia biunivoca entre B y C tal que si dos puntos E E se corresponden, tienen la misma imagen x. Falta demostrar solamente que es bicontinua, 0 sea que es continua y que la transformacion inversa también lo es. ‘En primer lugar E = f (E) transforma topolégicamente cada Db en 61 Ch de igual indice; luego es continua en todo Db, y la transformacién inversa es continua en todo Ch . Sea ahora E0 un punto de un ch distinto de a; sea E0 : f (E) su imagen en E’ , que pertenecera a rh , y sea x0 7E a la imagen en Ex de estos puntos. Hay dos esferas, una K0 c D1,_1 U Db U on y otra K1 C Ch_1 U Ch U n, que se trans-forman en el mismo circulo K’l que se transforman Km? contenido en K —— (a) . Las hoja-s K’0 pertcnecen bien a Dh_1 y Ch_1 o (semicirculo inferior) o K’x0 en bien a D1, Ch ; lucgo se corresponden mediante E : f (E) ; analogamente se corresponden K’fo K”1 y también K0 H on y K1 n In. Luego E : f (E) establec-c una correspondencia hiunivoca entre K0 y K1 tal que si dos puntos se corresponden tienen la misma imagen; esta correspondencia es topolégica pues es el producto de la corresponde-ncia topologica que 1: = x (E) ~establece entre Ko y Km, por la correspondencia topologiCa que x : a + Ek establece entre K1 y Kx0 . Luego E : f (E) es continua en los puntos distintos de a de todo ch y la transformacién inversa es continua en los puntos distintos de 0 de todo rh. Vamos a demostrar ahora que la transformacion E : g (E) inversa de E : f (E) es continua en E 2 0. Toda sucesién ((EnH contcnida en C que tienda a E : 0, tiene por imagen en Ex una sucesion ((xn)) que tiende a a; y tiene por imagen en E mediante E = g (E) una sucesién ((En)) cuya imagen en Ex es también ((xn)). La sucesion ((En)) esta contenida en B = D U (a) y por set D" compacto en si, tiene un punto de oscilacién en D0, cuya imagen en Ex por la continuidad de x : x (E) en D0, es a. Pero en D" hay un solo punto, que es 0: , cuya imagen es a ; luego ((En)) tiende a a . En forma anéloga se prueba que la transformacion E = f (E) es continua en a . TEOREMA 4. Inversion local en los puntos regulares. —— Si E es un espacio regular, localmente compacto, que satisface el primer axioma de numerabilidad, y Ex es un espacio localmente homeomorfo a E“, todo punto regular para la transformacién x : x (_ E) es un punto Fn(k1 km) . OBSERVACIoN.— En cl caso importante en que Ex : En, el teo- rema se puede enunciar en la siguiente forma: Sea E un espacio regular, localmente compacto, que satisface el * En lo sucesivo, los subindices x0 deben leerse xv. —291—— ,urkw ., :1. �primer axioma numerabilidad, y sea ‘Ex : En. Si (18E es un punto regular pact una transformacién x : x (E) , dado un entorno U de a' hay una esfera K tan peque a coma queramos centrada en el punto a : x (a) y un dominio D C U que contiene a a y tal que D —- ((1) es la unio'n de m dominios disjuntos Dh (h : ], ..., In) con las siguientes propiedades: 1) Si n E 3 la transformacién x 2 x (E) establece un homeonwrfismo entre cada Bl, : D), U (a! y K. 2) Si 11 = 2 hay un homeomorfismo Th entre Bh y un circulo Kh del plano complejo E’ tal que a) el punto a y el centro C : 0 del circulo son puntos correspondientes; b) si E 1; son puntos correspondientes x (El : a + Ckx- donde k1, es un entero pasitivo. 3) Si 11 2 1 la esfera K es un intervalo cuyo punto medio es a , y es por tanto la unién de dos intervalos semicerrados I— I+ cuyo dnico punto comlin es a. La transformacio’n x : x (S) transforma tapolégicamente p conjuntos Bh en 1‘ y q conjuntos B1. en 1+ (p + q z m). DEMOSTRACIéN. m~En primer lugar observaremos que si e] teorema es vélido cuando Ex :2 En, también es vélido cuando Ex cs local- mente homeomorfo a E“. En efecto, siendo a un punto regular, se pucde construir una transformacion auxiliar y : y(E) dc E a Ey : En que en a sea localmente equival‘ente a x : x (E) en a. Siendo e1 t‘eorema vélido en a para y : y (E) por hipétesis, seré vélido en a para x : x (E) por el teorema 2 de § 3.3. Esta observacién nos permite hacer la demostracién del teorema suponiendo que Ex : En. Siendo a un punto regular, hay un cntorno U0 do a tal que la transformacién x : x (E) es continua on lodos los puntos dc U“, y es topolégica en todos los puntos de U0 distintos d-e (1. For 10 tanto dc acuerdo con el teorema 1 del § 4 e1 punto a no es punto de estriccién y por consiguiente hay un entorno U C Uo tal que ning n punto suyo distinto do (1 es conjugado de (1. For 61 teorema 2 del § 4 se puede determinar una esfera K centrada en a , y un entorno abierto D de a , compacto y completamente contenido en U (es decir tal que D0 C U y) que se tran‘sforma en un conjunto contenido en K, y cuya frontcra se transforma en un conjunto contenido en la frontera de K . Como D0 C U , todos los puntos dc D° .distintos de a son puntos de topologicidad que tienen imagen distinta de a. Siendo Dh las componentes conexas dc D — (a) se verifica tam- hién que cada D1, es un dominio que se transforma en un conjunto contenido en K —— (a) y cuya frontera so transforma en un conjunto contenido en la frontera de K — (a) . Por e1 teorema 3 de § 2.2 la prolongacién de un punto cualquiera EoeDh es siempr-e posible a lo largo de cualquier curva continua C que parta de la imagen x0 de E0 , y que esté contcnida en K —- (a) . Por consiguiente, si 11 > 1 la imagen dc D“ as K —— (a) y la (19. B“ : D1. U ((1) es K ; mientras que si 11 : 1 la imagen de Bh es —— 292 —— �el semi-int-ervalo Ki 0 K“r (K‘ es el conjunto de los puntos (16 K situados a la izquierda de a , mas el propio punto a ; K+ es el conjunto dc puntos de K situados a la derec‘ha do a, mas e1 propio punto a ). El conjunto de los puntos ode D conjugados de un punto dado es cerrado por la continuidad de x : x (E) y es aislado porque en D no hay puntos de estri-ccion; luego por la compacidad de D es finito. Se deduce inmediatamente que hay un nlimero finito .de dominios Dh y que cada punto de la imagen de Db tiene un mimero finito de preimégenes en Db. Si 11 7/: 2 , x : x (E) estahlece una correspondencia biunivoca entre B1, y su lmagen, que llamaremos t . Supongamos que. hay en Bh dos puntos [3’ [3” que tienen igual imagen h; demostraremos que [3’ : [3” . En primer lugar, si uno de ellos es (1, es evidente que el otro también tiene que ser (1. SupongamOS por lo tanto que los dos son distintos de a, y que por consiguiente es 1) =75 a. Como Db es un dominio formado por puntos de topologicidad, tiene conexién curvilinea y por tanto podemos unir f5’ con [3” por medio dc una curva C contenida en Db. Esta curva se transformara en una curva Cx contenida en BM — (a) que es cerrada, pues sus dos extremes coinciden en 1) . Es decir que [3” es prolongacién ordinaria de [3’ a lo largo de la curva ‘Cx. Como t —— (a) es un do- minio simplemente conexo, la curva Cx se puede contraer a1 punto b, manteniéndose siempre en t — (a) y con sus extremos fijocen 13. La prolongacién ordinaria de (3’ a lo largo de C.x es siempre posible; luego por el teorema general de invariabilidad (§ 2.1) resulta que dicha prolongacion es siempre la mi-sma. Pero cuando la curva Cx so ha reducido al punto h , esa prolongavcién es el mismo punto B'; luego {5” : [3’ y la correspondencia es biunivoca. Para demostrar que es topologica, basta solamente demostrar que la correspondencia inversa es continua. En primer lugar esta corrospondencia inversa es continua en los punto-s de t distintos de a pues la trans-formacién x : x (:3) es localmente topolégica en los puntos de Bh distintos de (1. En el punto a es ‘también continua, pues en caso contrario habria un entorno V de a cuya imagen no seria entorno de a (hablamos de entornos en Bh y t ). Luego puedo con‘struir una sucesién ((xn) ) de puntos distintos pertenecientes a BM, que tiende a a, y tal que las preimagenes En estén fuera de V. La sucesion (($11)) por la compacidad de Bk dcbe tenor un limite de oscilacién E0 cl cual por la continuidad de x : x (E) en D0 (16136 tener su imagen en a. Pero e1 nico punto de D0 cuya imagen es a, es (1, y at no es punto de acumulacion dc En porquc todos. los En estan fuera de V, 10 cual muestra cl absurdo. Con lesto queda demostrado que si 11 > 2, el punto (1 es un punto Fn (In) , siendo m e] nlimero de dominios Db ; y que si 11 : 1 , siendo p 61 n mero de conjuntos B1, que se transforman en K— y siendo q 01 Illinmro do conjuntos Bl. que so transforman en K+, el punto 0L es un punto F1 (p q). ——293—— �Queda por estudiar solamente el caso n : 2 . Utilizando las prolongacionCS sohre curvas, se puede demostrar fécilmente estas dos propiedades: I) si 11 :: 2 , todo punto xaK — (a) ticne un mismo nlimero k1, (finito) de preimégenes en Bk. 2) ‘si 11 : 2, dado un punto cualquiera E’ t cuya imagen es x' y un punto XSK ~— (a), se puede asignar indices j : 0, 1, . . ., k1, —— 1 a 105 k), puntos ,de D1, cuya imagen os x, de modo que el punto E,- sea prolongacion de E’ a lo largo de cualqueir curva C : x : f0») cont-enida on K — (a) que una x’ con x, y que dé mk,l + j vueltas completas alrededor de a en sentido antihorario, dond'e m puede ser un entero cualquicra, positivo, negativo o nulo, entendiéndose que si 111 es negativo, la curva da ) mk,l + j —|— 1 | vueltas completas alrededor d-e a en sentido contrario, es. decir, en sentido horario. Tom-emos ahora un radio r cualquiera del'circulo K , un punto x’er conteni‘do en K — (a), y una preimagen E’ rde x’ en Bh. Llamemos Dm a1 conjunto de puntos ESB], cuya imagen x per- tenece a K — r y que 'son prolongacion (16 E’ a lo largo de curvas contenidas en K ~— (a) que unen x’ con x y que dan mk,1 + i vueltas comp'letas en sen-tido antihorario alrededor de a . Es inme-diato que hay kh conjuntos Dm , que son .desunidos y que x : x (E) estahlece una correspondencia biunivoca entre Bm y K — r. Es ademés inmediato que si un punto E pertenece a BM todos los pu-ntos ~de un entomo dre E también pert-enecen a Dhi, luego Dhi es abierto. También es inmediato que Dm es conexo, y por lo tanto cs un dominio. Llamaremos cm a la curva continua formada par (1 y por los puntos de 1),, cuyas imégenes son puntos de r , y que son prolongacién de E’ a lo largo de curvas contenidas on K — (a) que partven (19 x’ y dan mkl1 + i vueltas completas alrededor de a en sentido anti- horario-. Es inmedito que todo punto de chi es punto de acumulacion die Dhi_1 y Dhi y que todo punto de cm distinto de 0L no es punto de acumulacién de los demés Dhj; mientras que 0L es punto de acumula-cié-n de todos los Dhi . La transformacién x 2 x (E) establece una correspondencia lo- pologica entre Dhi y K — r porque esta correspondencia como ya .sabemos es hiunivoca y ademés x : x (E) es localmente topolégica en Dm. Se puede demostrar tamhién facilmente, utilizando la compa- cidad dc D, que x = x (E) transforma topologicamente a c; en 1'. De acuerdo a1 teorema anterior, se puede establecer una correspondencia topologica Th entre Bh y un circulo Ch: E] < oh (101 plano complejo E' que tran'sforma a (1 en E = 0 de tal manera que si E C so corresponden mediante T1, se tiene, considerando a x y 5; como variables com'plejas X (E) = a + Ekn. Esto significa que el punto a es un punto F3 (k1 —294—— km) . �TEOREMA 5. (Teorema de inversion local restringido a1 caso en que E es localmente liomeomorfo a En ). — Si E y Ex son localmente homeomorfos a En, I) si 11 : 1 , los puntos regulares que no son puntos de topolo- gicidad son puntos F1 (0 , 2) 2) (son puntos de retroceso). si 11 : 2 , los puntos regulares son puntos F2 (k) . si 11 E 3 , los puntos regulares son puntos de topologicidad. Este teorema es un corolario del teorema anterior; para demos3) trarlo basta, en el caso n > 1 , con demostrar que el numero m de dominios Dh es igual a 1 . 'Siendo a un punto regular, eomo E es localmente homeomorfo a En, hay un entorno abierto A de a que se puede poner en correspondencia tonolégica con E’ : En. Por el teorema anterior (1 es un punto Fn (k1 . . . km) y por el teorema de § 3.4 puedo suponer que el dominio D que se divide en el punto a y en los m dominios D}, y que tiene las demas propiedades ya enunciadas otras veces, estzi contenido en A. En E’ a a le corresponde un punto B y a D le corresponde un dominio C y a los m dominios D1, les corresponde m dominios Ch desunidos. Los dominios Ch son las componentes de C — ([5) . Si E’ : En con 11 > 1, C — ([3) tiene una sola co-mponente, luego m : 1. Si E’ : E1, C — (f3) tiene dos componentes, luego m : 2-. Hay entonces dos posihilidades: que el punto a sea un punto F1 (1 , 1) en cuyo caso (1 es un punto de topologicidad; o que sea un punto F1 (0, 2) en cuyo caso es un punto de retroceso. OBSERVACIéN. u E] teorema anterior es aplicable en particular en el caso en que la transformacién tenga derivadas pareiales continuas, y en que el jacobiano se anule en el punto a pero sea distinto de cero en los (l-emas puntos de un entorno de a. UNA MODIFICACléN NECESARIA EN LAS HIP6TESIS DEL TEOREMA DE INVERSIéN DE STO'I'Low. —— S. STo'I'Low [2] dice que una transformacién es interior si es una transformacion uniforme que cumple estas tres condiciones: 1) es continua. 2) transforma conjuntos abiertos on conjuntos abiertos. 3) no transforma ningl'm continuo en un punto nico. El teorema dc STO'I'LOW sobre inversion local de transformaciones interiores se puede enunciar de la siguiente manera: Si E y Ex son espacios accesibles conexos, localmente homeo- morfos a E2, y x = x (E) es interior, en todo entorno do an punto cualquiera a de E existe un dominio cerrado de Jordan 'y (es decir un dominio cerrado que es homeomorfo a un dominio cerrado de Jordan plano) compacto y normal que tiene a (1 en su interior y que tiene con respecto a la transformacién considerada la propiedad si——295— �guiente: se puede dividir y en un nlimero finito 11 de sectores par 11 areas simples que salen de a y terminan todos sobre la frontera. de y , arcos que tomados dos a dos tienen un solo: punto comxin que es el punto a, de tal manera que cada uno de esos sectores se transforma en el dominio cerrado x (y) y que ademds, la condicién si- guiente es satisfecha: la transformacion es topolégica en el interior de cada. sector; es asimismo topolégica sobre cada uno de los arcos dc. division de y y transforma a cada uno de estos arcos en un dnico arco interior a x (y) . ‘Comparando las liipétesis de este teorema con las del teorema de inversion en los puntos regulares, llama inmediatamente la atencién el ltecho de que S’roiL0\v exija que E y Ex sean espacios accesibles conexos localmente homeomorfos a E2 on lugar de exigir que scan espacios de Hausdorff localmente llomeomorfos a E2. Se ve inmediatamente que la conexion es una condicién superflua, que por otro lado no se utiliza en ninglin ’mo-mento en cl curso de la demostracién. En cuanto a la condicion de que los cspacios scan accesi-bl-es, debe sustituirse por la condicién mas severa de que scan espacios de Hausdorff. Daré un ejemplo en el cual no se cumple totalmente e1 teorema de STOYLOW e indicaré a continuacion cual es la parte de la demostracién en donde interviene la condicion dc que los espacios sean espacios de Hausdorff. El ejemplo es el siguiente. Los puntos del espacio E ‘serén los puntos de un plano horizontal mas un punto exterior a1 , situado sobre la misma vertical que el punto (1 del plano. Como entornos tomaremos para los puntos del plano, los entornos propios del plano, y para el punto- a1 los entornos del punto 0. en los cuales cam= biamos solamente e1 punto a por el punto a] . Queda asi definido e1 espacio E que evidentemente es un espacio aecesiblc localmente homeomorfo a E2 . Como espacio Ex tomaremos un espacio analogo, constituido por un plano horizontal paralelo a] primer plano y un punto exterior a1 situado sobre la misma vertical que pas-a por los puntOS a y (11 de E y Fm. 4 por cl punto a (16 Ex. Como transformacion x : x (ED tomaremos la que a cada punto E le hace corresponder e1 punto x de Ex — (all situado sobre la misma vertical. Evidentemente esta transformacién es interior en el sentido de STO'I'LOW. Se cumplen por lo tanto todas las hipotesis del teorema de STo'iLOW. Sin embargo se oliserva que: 1) ninglin entorno de a contiene un dominio cerrado que contenga a a puree» tales dominios cerrados deben contener a a1. —— 296 —— �2) ningun conjunto de E puede ten‘er por imagen un dominio cerrado que contenga a x : a pues tal dominio cerrarlo dehe contener a x : a1 , y este punto no tiene preimégenes en E . 3) el circulo y dibujado en la figura, que no contiene a a1 cumpliria todas las condiciones del teorema menos la de ser cerrado, la de ser normal, y la (le que su imagen sea un dominio cerrado. 4) el conjunto V U ((1,) es cerrado y normal pero no esté contenido en un cntorno de a y la lransformacion no es topolégica en su interior_ como lo exige el teorema de STO'I'LOW (en este caso es n : l y el unico sector es todo el conjuntol. Veamos ahora Como se modifica la demostracién del teorema introduciendo la hipétesis de que E y Ex son [espacios de Hausdorff. Como E y Ex son localmente homeomorfos a E2, hay una correspondencia topolégica y : f (x) entre un entorno Ua y un espacio EX : E3 y otra correspondencia topolégica E : (p (n) entre un entorno U de a arbitrariamente peque o y cuya imagen x(U) esté contenida en U:l y un espacio E’ : E2. La transformacién y : y (1]) : f{x[(p(1]‘)]} es interior, y transforma al punto B : (p_1 ((1) en el punto l) :: Hal . STOlLOW demuestra el teorema para la transformacién y : y (nl (lel plano E’ a1 plano Ey . Sea y’ el dominio cerrado de Jordan que tiene a [3 en su interior y cumple las condiciones del teorema de STOlLOW; y sea y“ : y (y’l cl dominio cerrado imagen de y' mediante y : y (11) . A y’ le corresponde topolégicamente mediante E : (p (TH un conjunto Y que es un dominio cerrado (le Jordan en U y quees compacto. Su imagen x (Y) es la imagen de Yb mediante y : f (X) es por lo tanto un dominio cerrado en Ua . Ademas el conjunto 'y es normal respeeto a la transformacién parcia'l X (E‘Ul . Pero pueden existir puntos frontcras de y situados fuera de U y por lo tanto y no es necesariamente cerrado ni normal; y por la misma razén x (Y) no es necesariamente cerrado. En cambio si euponemos que E y EX son espacios dc Hausdorff, localmente homeomorfos a E2 , tanto y como x (W son H—cerrados y por lo tanto son cerrados, es d-ecir que no tienen fronteras fuera de U y Ua, y el teorema se cumple. RELACIéN ENTRE ms TRANSFORMACIONES INTERIORES EN EL SENTIDO DE STo'I'Low Y LAS TRANSFORMACIONES REGULARES. —— Por el teorema de inversion en los puntos regulares, se deduce que si E es regular, localm-ente compacto y satisface el primer axioma de numerabilidad, y si Ex es localmente homeomorfo a En, y si 11 >— 2, toda transforma- cién regular es interior (en el sentido de STO'I'LOW‘D~ En cambio, si n : 1 , hay transformaciones regulares que no son interiores, pues en este caso pueden existir puntos regulates. que son de retroceso, pero por otro lado ning n punto regular pu-ede ser punto de estriccion (en particular ningun continuo- se transforma en un punto nico). —297—— �Reciprocamente, si n E 3 , es facil encontrar cjemplos dc trans~ formaciones interiores que no son regulares, pues 10$ puntos que no son de topologicidad pueden formar lineas. Posiblemente sea ésta 1a mayor dificultad que existe para generalizar a n E 3 e1 teorema (1e inversion de transformaciones interiores de STOiLOW’. En cambio si 11 :: 2 , y si E es también localmcnte homeomorfo a E2, e1 teorema de inversion de STO'I'Low nos dice que toda transformacién interior es regular, y por lo tanto en este caso ambos tipos de transformaciones coinciden. Este resultado es conocido, pues, como ya se observé en la intro- duccién, en el caso en que E y Ex son localmente homeomorfos a E2, 91 teorema dc inversion en. los puntos regulares es un corolario inmediato de los teoremas de inversion local y de prolongacién continua de transformaciones interiores de STO'I'LOW. El teorema de prolongacién continua de transformaciones interiores dice lo siguiente ([2], pag. 122): Si E y Ex son localmente homeomorfos a E2 , condicién suficiente para que x z x (E) sea interior es que: 1) 2) sea una transformacién continua. sea interior en E —~ C, siendo C an conjunto cerrado to- talmente discontinue (partout discontinu). 3) la imagen Cx dc C sea también un conjunto cerrado y totalmente discontinuo. Si (1 es un punto regular para x : x (E) , hay un entorno abierlo A de a ta] que x : x (E) cs localmente topolégica en A — (a) ., y por lo tanto es interior en A — (a) . De acuerdo con el teorcma de prolongacién recién cnunciado, 1a transformacién x : x (E [A1 cs interior, y por el teorema de inver- sién dc transformaciones interior-es, x 2 x (E) en (1 es localmente equivalente a z : Z" en 1; : 0, es decir (1 es un punto F2 (k) , con 10 cual csta demostrado que en este caso particular, e1 teore-ma de inversion en 10$ puntos regulares es un corolario inmediato de los teoremas de inversion y de prolongacién de transformaciones interiores dc STO'I'LOW. |Creo conveniente observar que la equivalencia entre las transformaciones interiores y las transformaciones regulares, que existe en e7. caso en que E y Ex sean localmente homeomorfos a E2, permite enunciar la definicién de superficies de Riemann dada por ST01L0\V ([2], pag. 119) en la siguiente forma, que quizas traduce mas directamente las propiedades mas intuitivas de tales superficies: Una superficie de Riemann es una superficie representable por una transformacién continua x : x (E! de un espacio E conexo, localmente homeomorfo a E2 , a la esfera compleja, que es localm‘entc topolégica en casi todo E (en todo 'E menos 10s puntos de un conjunto aislado). —298»~ �w vy —"v‘31 W '_.|-‘ '"n § 5. Sabre uniformizacién de funciones La uniformizacién intrinseca. — Sean X e Y dos conjuntos de puntos, y sea y : F (x) una funcién (en general multiforme) defi— nida en X y cuyos valores estén contenidos en Y, es decir, que a cada punto xEX le hace corresponder uno o mas pu-ntos s. Diremos que un par (X0 yo) pertenece a la funcién y : F (x) O que es un par de dicha funcién, si yo es uno de los punto-s y que dicha funcién llace corresponder al punto x0 . Se puede .decir que dar la funcién y :: F (x) equivale a dar todos los pares que pertenecen a la funcién. Se llama uniformizacién de la funcién y 2 F (x) la construccién de dos funciones uniform-es, que llamaremos funciones uniformizantes x:x(E) y:y (E) definidas en un mismo conjunto (l) E, de tal manera, que se tenga idéntieamente en 3 ME) 2 Hum Se dice que la funcién y : F (x) esté uniformizada por las funv ciones (1) y la variable E se llama variable uniformizante. Diremps que la uniformizacién es total si siendo (x0 yo) un par de la funcié'n, hay un punto E08 S ta] que x0 : x (E0) y0 : y (E0) y en caso contrario diremos que la uniformizacidn es parcial. Ademas diremos que la uniformizacién es estricta si e1 punto E0 si existe es linico, 0 sea, si a dos puntos E’ E” diferentcs les corresponde mediante las {unciOv nes (1) pares (x’ y’) (x” y”) diferentes. Sea X X Y e] producto combinatorio de los conjuntos X C Y y sea 3 cl subconjunto del conjunto X X Y formado por los pares (x y) que pertenecen a y = F (x) . Cada punto E cs por lo tanio un par (x y) , y podemos definir dos funcioncs unilormes x : x (E) y : y (E) hacienda corresponder a cada E e] punto x que es la primera componente del par y el punto y que es la segunda componente. Estas funciones efectlian una uniformizacién total y estricta que llamaremos uniformiztwién intrinseca. Supondremos en adelante que los conjuntos X e Y son sendos espacios Ex Ey. En est-e caso el conjunto X X Y se puede transformar en el espacio Exy : Ex X By, y el conjunto E en un espacio E subordinado de Exy. La uniformizacién intrinseca estara dada en este caso por las mismas funciones x z x (E) y : y (E) con la diferencia de que ahora se puede hablar de continuidad, y en efecto, en virtud del teorema de proyeccién en espacios productos, estas funciones uniformizantes son funciones continuas. Diremos que un par (x0 yo) de y : F (x) es ordinario si existe un UKO y un U_m* tales que en Ux0 se puede definir una funcién * En lo sucesivo, los subindices yo deben leerse yo. —299— �y : f (x) uniforme y continua, que es la nica funcion definida en Ux0 y cuyos valores estan en Uyo que es parte de y : F (x) 12. Diremos que un par (X0 yo) es regular si cumple estas dos con‘ diciones: 1) dados dos entornos cualesquiera Ux0 Uyo hay pares (x y) do y : F (x) , distintos de (x0 yo) , tales que XSUx0 e yeUyO. 2) se pueden hallar dos entornos Ux0 Uyo tales que todo par (x y) perteneciente a la funcion, distinto de (x0 yo) y tal que exo 6 y 8 Uyo , es ordinario. ‘Se demuestra sin dificultad, utilizando el teorema 2 de § 1.3, que la condicién necesaria y suficiente para que un par (x y) sea ordinario, es que el punto E : (x y‘) sea un punto de topologicidm para la transformacién x : x (E) . De esto se deduce inmed‘iatamente que si un par (x y) es regular, considerado ‘como punto de 'E es un punto regular para x r: x (E) , y reciprocamente. ‘Pares G (k1 . . . km D. — Sea G un conjunto finito o una sucesion de funciones (en gen-era] multiformes) C : g}, (z) cada una de las cuales es’ta definida en un cierto conjunto» Ch C EZ que contiene a z : c y tal que todas Ias funciones hacen corresponder a 0 un solo punto C : Y . Diremos que 61 par (a 1)} de la funcién y : F (x) es un par km) S‘i hay un rentorno Ua de a y un entomo U], de 1) G (k1 ml que13 F (U ) C U1, se puede .descompon-er14 en m funcio-nes y : f), (x) no necesariamente definida cada una en todo Ua, pero que en a todas toman e1 valor unico b ; tales que si x 75 a h’ 525 h” es f1,» (x) 7é fun (x) para todos los valores‘ posibles de amhas funciones; y se puede estahlecer una correspondencia topologica z :z (x) entre Ua y un entorno Uc de c y se puede definir en un entorno U1. 3 gh(Ua) de Y una funcién y : Gh(§) uniforme, continua, univalente” en todo conjunto formado por las imagenes gh (z) de un punto z cualqui‘era, y tal que en Ua se tiene idénticamente fh(Xi : Gh{gh[z(x’]} Pares Ff] (p q) . — En particular si como conjunto G de fun—1 . . formado por las dos Clones tomamos el conjunto que llamaremos F1 funciones z; : £51m g 2 {5‘ (z) ‘2 :D‘iremos que una funcién y :: if (x) es parte de la funcion y : F‘(x) si todo par de la primera es un par de la segunda. ‘3 Llamamos F (A) C B a la funcién parciaol constit-ui‘da po-r todos los pares de y : F (x) cuya component-e x pertenece a A y cuya componente y pertenee-e a B . 1" Diremos que una uncién y : F (x) 'se desco-mpone en las funcione-s y : in (x) lSi todo par de y = F (x) es par de alguna de las funoiones y : lfh (x) . '7’ Se dice {que una funcién uniforme es univalente en un conjunto, si en puntos di-stintos (pertenecientes a1 conjunto) toma valores distintos. —300— �inversas de las funciones z : f“ (C) y z : f12 (CI definidas en § 3.4 que forman el conjunto F1, tenemovs 10s pares Fri (1, . . ., l; ., . . . —l . 2, ..., 2) notacnon que abrev1aremos ‘escrlblendo F1 (p 11‘) 31 e1 1 aparece 1) veces y el 2 aparec (1 veces. Evidentemente cs lo mismo decir que un par es un par FYI (p ql 0 un par F71 (q pl . Si la fig. 1 se interpreta como representacién grafica de una funcién y :F (X) , e] par (a bl de esta funcién es un par F71 (2, 3i . Pares Fr] “In .. . km) . —— Llamaremos Fg—l a la sucesir'm de las . . . —1 funcwnes C :: fur (zl 1nversas de las funmones z : fgk (Cl que forman la sucosién F2 definida en § 3.4. Ouedan con esto definidos los pares Fg_1(k1 . . . kml . El rejemnlo mas conocido de pares de este tipo esté dado por la 'funcién y : xl/k donde x y son variables complejas. En este caso —1 . . . 01 par (0, 0) es un par F: (kl . S! mternretamos la fig. 2 como la representacién gréfica de una funcién y 7: F (Kl (sirndo Ex :: E3 '—1 o r y E,. : E1) 01 par ( a bi es 1111 par F0 (1 . ll . Un memnlo mas complejo esté dado por la funcién y :: F (X) definida do la sis-ruienite manera: a cada x se le haven cor-responder oinco valores v. dos dc — F (xll v "* X1/2y los ellos dados nor la funcién (narte de otros tres dados por la funcién y: x“/v dondex e v son variables oomnleias. Evidentemento de esta manera al origen x r” 0 le corres. i? nonde un solo valor y. que es y r. 0. El par (0, (H es un par —1 F3 (2 , 3) . Para: 17:1 (ml . con r a 11 .\ 3. —~ Dlamarmnos F.,—1 3] coniuntn 0' _l‘ formado por la umca funmon i; :: fm . . -1 Un momnlo de nar do tmo F.. (zl : z . . . (ml es cl swulente: sea y f F (Kl la funcién (me a todo punto de Ex 7: E3 16 bace corresponder dos mimeros. uno. la distancia a1 origen, y otro, el doble de la misma. Al origen 0 le corresnonde Pntonces un solo valor y, que es y —. 0. El —1 par (0, Ol es un par F3 (Zl . TEOREMA ].— Si x .— v (E) v —- v (El son [as funciones uniformizantes intrinsecas de y : F (xl . v .ci a —. f a bl a E considerad'o romo punto (19 E es un punto F,,(k., km} para la funcién x '2 c. . V (:l . consulerado coma par do v Siendo a un punto Fn (k1 —1 . km) . F (Kl es un nar F“ (R, km) hay un entorno abi’erto A de a tal que A — ((1) se divide en m conjuntos abiertos desunidos A}. y hay una correspondencia topolégica Th entre cada B1,: —A1.__ U (ml y un entorno V1. de y que transforma (1 en 3' y otra —301—— �correspondencia topolégica Tx entre un entorno Va do a : x (a) que contiene a las imagenes de todos los Bh y un entorno Vc que contiene a todas las imagenes de fnkh (Uh) siendo estas corresponden- cias tales que si E C 36 corresponden mediante Th sus imagenes x (g) fnkh (C) se corresponden mediante TX. Tomemos ahora entomos Ua Ub tales que siendo Uab : Ua X U1, y U 2 Uab n E sea U C A, siendo ademés Ua tan peque o que, esté contenido en Va , y que se cumpla L13. (Uc) c U.. siendo Uc la imagen de Ua mediante TX. La funcién parcial F (Ua) C U, es la funcién cuyos pares son los pun-tos de U. Como U es la unién de 105 m conjuntos Uh : U n Bh, la funcién F (U3) C Uh se des'compone en m funciones y : {1, (x) cada una de las cuales estzi formada por los pares que son los puntos del U1, correspondiente. No hay puntos C conjugados de y respecto a ninguna funcién z __ —fnkh(C) luego en ningun Bh llay conjugados de a y por lo tanto tampoco en ning n Uh es decir que todas las fun-ciones y 2 fl. (x) toman en a el valor nico b. Ademés como dos Uh tienen cn comlin solamcnte al punto a, se cumple que si x 75 a h’ 75 h” es fhv (x) 75 f1," (x) . Siendo z : z (x) la correspondencia topolégica que Tx establece entre Un y UL. . Siendo y : y (E) la funcién uniformizante intrinseca, y siendo E : Th (C) la correspondencia topolégica Th entre B“ y Vh definimos la funcién y 2 Ch (C) de la siguiente manera: y I Ch (C) I y [Th (2)] es por lo tanto una funcién uniforme y continua definida en Vh. Es ademés univalente en todo conjunto fo-rmado por las imégenes mediante full} de un punto z cualquiera. En efecto si C’ 2;” son dos dc tales imégenes de un punto z, y E’ E” son los puntos correspondientes mediante el homeomorfismo Th, por las propiedades de T1. x (E’) = mg") y com 8%? ym 7e HE”)- Ade-més es inmediato que en todo Ua vale idénticam'ente in (x) : 0.. [fawn] Como estas funciones. son en general multiformes, Ia identidad interpretarse en el sentido de que si a an x e Ua corresponde un cierto y mediante la funcién que ocupa el primer miembro, también este y corresponde a ese x mediante la funcién que ocupa e1 segundo miem- bro y reciprocamente. TEOREMA 2.— Sea Ex un espacio localmente homeomorfo a En y Ey un espacio regular, localm-ente compacto, que satisface el primer axioma de numerabilidad. ——302—— �Si y : F (x) es una funcién tal que el conjlmto E (10 sus pares es cerrado en un conjunto abierto A C Exy , los pares regular-es son pares Fn—1(k1 . .. km) . El cspacio Ex). : Ex X Ey es un espacio regular, localmente compacto, que satisface el primer axioma dc numerabilidad porque los espacios Ex Ey tienen esas propiedades. Ademas como E es cerrado en un conjunto abierto A, se deduce quc tamhién E es regular, 10calmente compacto y satisface el primer axioma de numerabilidad. Por e1 -tcorema de inversién local en los puntos regulates, todo punto regular para la funcién uniformizantc intrinseca x : x (E) es un punto Fn (k1 . . . km) . Si (1 : (a b) es un par regular de la funcién y : F (x) considerado como punto de E seré un punto regular para x : x (E) y por lo tanto- un punto Fn (k1 . . . km) , y por el teorema 1, el par (a 1)) es un par Fn—1(k1.. . km). TEOREMA 3.~ Si Ex es localmente homeomorfo a En (n > I) si Ey es regular, localmente compacto y satisface el primer axioma de numerabilidad y si y : F (x) es una funcién cuyos pares son todos regulares y forman un conjunto E cerrado en un conjunto abierto A C Exy, hay una uniformiztwién total (pero no siempre estricta), realizada por funciones continuas x :2 x (n) y :: y (n) , la primera de ellas regular de tipo Fn (k) (y por lo tanto localmente topolégica si 11 g 3 ), definidas en un espacio E’ localmente homeomorfo a En . En este caso siendo x : x (E) y = y (E) las funciones uniformizantes intrinsecas, todos los puntos E son regulares para x z (E) y por el teorema de inversién en los puntos regulares son de tipo Fn (k1 km) . A cada punto as E que no sea punto de topologicidad 1e asociamos un entorno abierto A que se divida en a y en m conjuntos abiertos desunidos Ah tales que entre cada Bh : Ah U (a) y un entomo Uh de y exista una correspondencia topolégica Th que transforma or en y, y también exista una correspondencia topolégica Tx entre un entorno Ua de a = x (a) que contiene a todas las imagenes de 105 13;. y un entorno Uc de 0 que contiene a todas las imagenes fnkh (Uh) siendo estas correspondencias topolégicas tales que si E C se corresponden mediant'e Th sus imagenes x(E) fnkh ) se corresponden mediante Tx . Sustituimos entonces cada punto regular (1 por n1 puntos a1 . . . am (en numero igual a] dc conjuntos Bh asociados) y definimos come entornos de ah los entornos de (1 en Bh con la sola modificacién de sustituir en ellos e1 punto a por el punto an . Los conjuntos B1, quedan asi transformados en conjuntos ahiertos, sin puntos comuncs, cada uno de los cuales contiene a1 punto ah correspondiente, y la funcién x = x (E) en (1., es localmcntc equivalente a la funcién x : fnkl, (C) en y es decir que en primer lugar el nuevo espacio E’ en el cual se ha transformado E es localmente homeomorfo a E119 y en segundo —303— �‘\ lugar, en los puntos regulares se tiene n1 : 1 cs decir que si n -,_ 3 todos los puntos son puntos dc topologicidad; y si 11 :2 2 103 puntos rcgularcs son de tipo F2 (k) . TEOREMA 4. Equivalencia de uniformizaciones. —— Si y :2 F (x) es una funcién cuyos pares son todos ordinarios, la uniformizacién total y estricta mediantc funciones x : Hm y : gm! IIEE’ (I) la primera de las cuales es localmente topolégica y la segunda, continua, es equivalente a la lmiformizacién intrinseca, x:x('§l y'Zylgi SEE (2) en el sentido de que se puede establecer una. correspondencia topolégica entre E y E’ tul que si E 1] son puntos correspondicntcs, es x (3 : {(1}! c y ii : g (n). Dciinimos una translormacion E :7: (p ('11) haciendo correspondcr a cada 1'] en el punto E a1 cual 1e corresponde mediante las funciones (2) el mismo par (x y) de y : F (x) que corresponde a V] mediante las funciones 11). Evidentemcntc csta transformacion es hi- univoca, y tiene la propiedad de que si E 1} se correspondcn es x (E) : H11) c y (E) : g (1]) . Falta demostrar solamentc que es topologica, cs decir biunivoca 0 interior. Des-ignando con u al punto genérico de EKy , 1a transformacion u : ‘l‘ (11‘) que a cada 1] 1e hace corresponder e1 punto u do abscisa 1' (m y ordenada g (1]) es continua porquc las funciones (1) son conlinuas; pero todos los puntos u : ‘i’ (7]) pcrteneccn a E lucgo csla transformacion cs continua considerada como transformacion (16 E' a E y coincide con E : ‘1’ (1]) , luego és-ta es continua. Falla probar que cs interior. Sean E : a 1} : B dos puntos correspondicntcs. Se ticnc: x :x!(1|:[{|‘il Podemos delerminar un cntorno U do a y un entorno Ux que estén en correspondencia topologica mediante x : x (E) y también un entorno Vx C Ux y un cntorno V de (3 que estén en correspondencia topologica mediante x : f (1]) . A Vx 1e corrosponde topologicanicntc en U un cntorno W. Sca E : T (1]) la correspondencia topolégica entrc W y V que es el producto de las correspondencias topolégicas cntre W y Vx y entrc Vx y V. La condicion ncccsaria y suficicntc para que SEW y 1'18V sean puntos correspondicntes segun T es que x (E) 2' f (1]) . Como E = (p (1]) cs continua, se puede determinar un V' contenido a la vcz on V y on 1111 cntorno U’ do B dado de antcmano, y tal que (p (V’) C W . Un punto cualquicra ‘IISV’ y el punto correspondientc E L (p (1]) EW son tales que X (E! _,,_ 304 L :: ft'n} , luego �como estén respectivamente en V y W, se corresponden en la correspondencia topolégica T. Quiere decir esto que la correspondencia E : (p (n I V’) coincide con E : T (n I V’) . Luego cp (1]) transforma a V’ en un entomo W’ C W; pero V’ C U’, luego 1pm) trans- forma a U’ en un entorno dc a, y como U’ era un entorno cualquiera d-e {3, se deduce que 3'; : (p (1]) es localmentc interior en {3 y el iteorema esté demostrado. TEOREMA 5. — Sea Ex : En, Ey : Em, Ez : Em, 3/ sea z 2 F (x , y) una funcién definida, continua, can derivadas continuas en un entorno abierto U del punto (a 13) de Em+n que tiene jacoblano ordmano puntos de U. Sv— Y nulo- en (a b) pero dzstmto de cero en los demas Si F (a b) 2 0, el par (a 1)) es un par aislado o bien un par _1(k1 . .. km) para la funcién y : F (x) formada por todos los pares (x y) tales que F (x y) 2‘ 0 . Por e1 teore‘ma clésico de Anélisis todos los punlos u :: (x y) distintos de (a b) y contenidos en U, que scan pares de y : F (x) , son pares ordinarios de esta funcién. Luego si (a b) no es punto de acumulacién del conjunto de los pares de y: F (x) es on par aislado de esta funcién; y si es punto de acumulacion es un par regular, y por el teorema 2 es on par —1 F11 (kl - - - km) - BIBLIOGRAFIA [l] REY PASTOR, J. Funciones complejas en espacio topolégico, Revista de la Facultad de 'Ciencias Exactats de TIucmnén, A, 4, 159—216 (1944). [2] STOlLOW, J. 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Title A name given to the resource Revista de la Facultad de Humanidades y Ciencias Creator An entity primarily responsible for making the resource Facultad de Humanidades y Ciencias Publisher An entity responsible for making the resource available Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 1947-1989 Rights Information about rights held in and over the resource Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Language A language of the resource Español Type The nature or genre of the resource Publicación periódica Contributor An entity responsible for making contributions to the resource Lic. Pablo Darriulat Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Un teorema sobre inversión local de transformaciones Description An account of the resource El objeto principal de este artículo es demostrar el teorema de inversión local de transformaciones en los puntos regulares. Para dar una idea sobre este teorema, es necesario aclarar el sentido con el cual se usan algunos términos. Creator An entity primarily responsible for making the resource VILLEGAS MAÑE, Cesáreo Source A related resource from which the described resource is derived Revista de la Facultad de Humanidades y Ciencias /Universidad de la República. Montevideo : FHC, UR , 1950, Año IV, Nº 5 : p. 267-305 Publisher An entity responsible for making the resource available Facultad de Humanidades y Ciencias Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 1950 Rights Information about rights held in and over the resource Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Language A language of the resource Español Type The nature or genre of the resource Publicación periódica TEOREMA DE INVERSION LOCAL DE TRANSFORMACIONES