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��La personalidad científica de Arquímedes
PREFACIO
El presente trabajo tiene por objeto analizar la personalidad de
hombre de ciencia de Arquímedes. Por razones que se expondrán en
detalle, se trata de la primera figura en la Historia de la Ciencia, y
más en particular de la Matemática, de la cual es posible encarar un
tal estudio. Por ello, es particularmente grato el que se trate de una
personalidad claramente delineada como una de las más descollantes,
tanto por el testimonio de sus contemporáneos y de sus comentadores
como por el aún más elocuente de sus obras originales, de las cuales
al menos las más importantes parecen haber llegado a nosotros relati
vamente poco corrompidas.
La orientación de este trabajo será, por tanto, predominantemente
crítica. No entramos, por tanto, a un estudio formal de esas obras
salvo en lo que sirve a nuestro propósito. Tampoco presentamos una
reseña completa de las fuentes, ni hacemos una exposición de la His
toria de la Ciencia en la Antigüedad. Todo ello se halla con una am
plitud y especificidad que no requiere nuestros comentarios en las
referencias que iremos señalando.
Sin embargo, creemos conveniente dedicar un primer capítulo a
un resumen sucinto de lo que sabemos del hombre y de su obra, con
especial énfasis en los aspectos que serán después motivo de discusión
en el estudio de la personalidad científica que abarca el capítulo
segundo.
Dos observaciones sobre aspectos formales: las referencias que no
son de carácter puramente incidental están señaladas por números
entre corchetes, los que remiten a la bibliografía que se halla al final
de este trabajo; las referencias a las obras del propio Arquímedes
están hechas por título abreviado por regla general, encontrándose
la lista completa en la sección 2 del capítulo primero. Finalmente,
hemos resuelto con pesar utilizar la forma vernácula de los nombres
propios griegos y latinos.
El autor desea dejar aquí constancia de su agradecimiento al
Prof. Dr. B. L. van der Waerden, cuyo brillante curso sobre Matemá
tica y Astronomía en la Antigüedad contribuyó a despertar su interés
en la personalidad de Arquímedes.
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-
�CAPITULO I
EL. HOMBRE Y SU OBRA
1. Vida
Al contrario de lo que sucede con la mayor parte de los otros
matemáticos de la Antigüedad clásica, las fuentes que nos* son acce
sibles referentes a la vida y personalidad de Arquímedes son relati
vamente abundantes. De acuerdo con el criterio con que encaramos
el presente trabajo, no nos proponemos hacer un análisis crítico de
esas fuentes. Ellas se encuentran reseñadas someramente por Heath
[5], más extensamente por ver Eecke [3], y en forma comprensiva
por Heiberg [10], vol. 3, y Hultsch [11]. Nos limitaremos a resumir
algunos de los aspectos salientes y bien documentados de su biografía.
Prácticamente toda la vida de Arquímedes transcurrió en Siracusa, entonces ciudad independiente de población griega de origen
dórico. Por lo que sepamos, sólo viajó en su juventud, en cuya época
se sitúa con seguridad una estada en Alejandría, a la cual aún nos
referiremos. Conocemos con precisión la fecha de su muerte (212
a.C.) pues pereció en el saqueo de Siracusa por los romanos; de
acuerdo con la información de Tzetzes, murió a la edad de 75 años,
lo que situaría su nacimiento hacia el año 287 a.C. Según dice él
mismo en el Arenario, su padre fue Fidias; en el pasaje citado se
menciona que éste había hecho observaciones astronómicas, en par
ticular una determinación tentativa de los tamaños del sol y de la
luna. Arquímedes estuvo en relaciones amistosas con el rey Hierón II
y el hijo de éste, Gelón (a quien dedicó el Arenario), afirmando
algunos que eran parientes lejanos.
De los prefacios de sus propias obras (a los cuales tendremos
oportunidad de referirnos más adelante), así como de otras fuentes,
sabemos que Arquímedes permaneció durante algún tiempo en Ale
jandría, donde el contacto con los discípulos de Euclides fue sin
duda de considerable estímulo en su formación. Parece fuera de duda
que durante la misma conoció al matemático Conon,* vinculado a la
corte, hacia quien sentía gran amistad y admiración, como lo mani
fiesta en varias de las cartas con que acompaña el envío de sus tra
bajos, después de la muerte de Conon, a Dositeo, colega y quizá discí
pulo de éste. Así, dice, por ejemplo:
Cuando me enteré de que Conon, cuya amistad hacia mí nunca desfalleció,
había muerto; ... me afligí de la muerte de un hombre que era a la vez
un amigo y un matemático distinguido ... (Cuadratura par., introd.)
Hubiera sido necesario, por cierto, que [estas proposiciones] fuesen publi
cadas en vida de Conon, pues estimo que sobre todo él habría sabido
comprenderlas y hacer una apreciación al respecto. (Esf. y di. I, introd.)
Pero Conon ha muerto antes de haber tenido el tiempo necesario para es
tudiar estas cuestiones; si no, las habría hallado y vuelto evidentes, y ha
bría hecho progresar la geometría con muchos otros descubrimientos de él;
pues sabemos que poseía una habilidad fuera de lo común en matemática
y una actividad notable. (Espirales, introd.)
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�También fue sin duda en Alejandría donde Arquímedes conoció
a Eratóstenes. El tono de la carta con que dedica a éste su Método
hace pensar, sobre todo por su contraste con los prefacios arriba
citados, que Arquímedes compartía la opinión de los alejandrinos
sobre Eratóstenes, a quien daban el sobrenombre significativo de
"BTjTa"; Arquímedes le enviaba los enunciados de teoremas sin acom
pañarlos de la demostración (ver también cap. II, secc. 4), antici
pando así los torneos de la época de Leonardo de Pisa. El texto que
ha llegado a nosotros del Problema de los bueyes afirma que este
extraño problema también fue propuesto por Arquímedes a Eratós
tenes, no habiendo noticia acerca de la reacción de éste. La tradición
también quiere que Arquímedes perfeccionara algunos de sus inventos
mecánicos durante su período alejandrino, en particular la bomba
helicoidal que se le atribuye.
La vida de Arquímedes en Siracusa parece haber transcurrido
tan apaciblemente como violentamente habría de terminar. Las fuen
tes que no se refieren específicamente a sus obras sólo nos relatan
algunas anécdotas significativas, relativas a su personalidad y a sus
inventos. Es así como no sabemos prácticamente nada de las circuns
tancias externas de su vida, a pesar de lo cual la coherencia de lo
que nos es referido delinea su personalidad más claramente que la
de cualquiera de los matemáticos que lo precedieron o fueron sus
contemporáneos. Las anécdotas lo muestran un hombre abstraído en
sus reflexiones, dibujando figuras geométricas en la arena o sobre su
propio cuerpo unto de aceite, dominado por el acto creador del
hallazgo científico, como en la conocida anécdota del "eupY¡y.a, eupY¡/,a"
(Vitruvio, ver [3], p. XLI).
Otras anécdotas se refieren a sus numerosos inventos, que cau
saban la admiración de la corte y de la población, en tiempos de paz
primero y en la desesperada defensa de la ciudad después, durante
la cual llegaron a infundir terror, justificado por los hechos, a los
sitiadores.
El concepto que Arquímedes tenía de estos inventos nos es
conocido:
No se había dedicado a ellos Arquímedes exprofeso, sino que ie entretenían
y eran como juegos de la geometría, a que era dado ... (Plutarco, Vida de
Marcelo, trad. A. Ranz Romanillos, Ateneo, Buenos Aires, 1948, p. 627).
En cuanto a Arquímedes, fue tanto su juicio, tan grande su ingenio, y tal
su riqueza en teoremas, que sobre aquellos objetos que le habían dado el
nombre y gloria de una inteligencia sobrehumana, no permitió dejar nada
escrito; y es que tenía por innoble y ministerial toda ocupación en la
mecánica, y todo arte aplicado a nuestros usos; poniendo únicamente su
deseo de sobresalir en aquellas cosas que llevaban consigo lo bello y exce
lente, sin mezcla de nada servil... (ibid., p. 630).
Sin embargo, tales inventos no fueron sin duda sino el fruto de
sus investigaciones teóricas a las cuales aún habremos de referirnos.
Al acercarnos al fin de su vida, la información que poseemos se
hace mucho más detallada. Habiendo demostrado en tiempos de paz
sus habilidades técnicas, contribuyó en forma considerable a la pro-
- 7
-
�longación de la resistencia de Siracusa contra los romanos. Las cir
cunstancias de este episodio de las guerras púnicas son bien conocidas
y no han de ocuparnos aquí, como tampoco citaremos los relatos que
sobre los medios empleados por Arquímedes en la defensa de la
ciudad hacen los autores, en particular Polibio, Tito Livio y Plutarco;
estos relatos son clásicos y se hallan reproducidos en su esencia en
[3], pp. XXIII-XXIX.
Conocidas también son, con pequeñas variantes, las circunstancias
en que Arquímedes halló la muerte, a manos de un soldado romano.
Verídicas o no en los detalles, ellas son coherentes con lo que sabe
mos de su personalidad. Simbólico también de su obra y del con
cepto en que Arquímedes tenía la misma es el deseo que habría expre
sado de que sobre su tumba fuera grabado el diagrama de una esfera
inscrita en un cilindro, relativo a uno de sus más importantes des
cubrimientos (Esf. y cil. I, Prop. 34, Corolario).
Poco sabemos del concepto que los trabajos de investigación de
Arquímedes merecían a sus contemporáneos, ni la difusión que
tuvieron en su época. De una obra tan capital para la evaluación
de sus investigaciones como es el Método no se tuvo, hasta el reciente
descubrimiento del texto del mismo, más que un par de vaguísimas
referencias en Suidas y Herón (ver [3], p. XLIV). Aún hoy puede
decirse, en fin, con el P. André Taquet, geómetra del siglo XVII:
Sed illum plures laudant quam legant; admirantur plures quam intellegant.
(Elementa geometriae planae ac solidae, quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata. 1672).
2. Reseña de las obras
En esta sección reseñamos brevemente las obras atribuidas a
Arquímedes, reservándonos el análisis de la contribución que repre
sentan para la sección siguiente.
2.1. Obras de atribución cierta. Las obras de Arquímedes que
han llegado basta nosotros y que le son atribuibles con certeza son
las siguientes:
1.Ilept ^yoúpoiq ^aí 7toXtv8pou. (Sobre esfera y cilindro. 2 libros.)
2.KúvtXou [^é^pr^i^. (Medida del círculo.)
3.Ilepi xtúvostSéwv xat acpatposc^éwv. (Sobre conoides y esferoi
des.)
4.Ilept ¿Xcx.(ov. (Sobre espirales.)
5.Hepí e~t7ué8(i>v caoppoxtwv r¡ xivxpa (^apwv ext^sSíov. (Sobre
equilibrios planos y centros de gravedad planos. 2 libros.)
.6. TeTpotYOviq/.ó<; %<xptx^o\rtq (más propiamente: tr¡q toó op9oY<ovtou
y.wvou TOfJLYJi;). (Cuadratura de la parábola o de la sección de
cono rectángulo.)
7.Ilept ó^ou^ivtov. (Sobre cuerpos flotantes. 2 libros.)
8.^*af^[JUTT)(;. (Arenario.)
9.Ilept twv ^,Y¡yavtx¿Jv 9e&)pv][jt.áT(i>v izpbq 'EpaTOdOévrjv 69080? (So
bre teoremas mecánicos, Método [dedicado] a Eratóstenes.)
10. ^xofJiá^cov (fragmento).
- 8 -^
�Las fuentes primarias de los textos que poseemos de estos tra
bajos son esencialmente dos: a) un manuscrito, redactado probable
mente en el si^lo IX en Constantinopla y desaparecido después de
1544, conteniendos los trabajos 1,2,3,4,5,6,8, en el cual se basan todas
las ediciones posteriores que conocemos; era además conocido el
trabajo 7, exclusivamente en versión latina; del Método no se tenía
hasta 1906 más que referencias pasajeras, y en cuanto al E^ogá^cov,
Heath lo tenía aún en 1897 por apócrifo ([5], p. xxii) ; b) el famoso
palimpsesto descubierto en 1899 en Jerusalén e interpretado en 1906
por Heiberg; este palimpsesto contiene el Método casi íntegro, un
fragmento del ^Topiá^cov y casi todo el texto de Cuerpos flotantes.
Los numerosos manuscritos y ediciones de las obras de Arquímedes (la editio princeps es la edición bilingüe Archimedis opera quae
quidem extant omnia nunc primum graece et latine in lucem edita etc.
publicada en Basilea en 1544) dan lugar a considerables problemas
de filiación y crítica bibliográfica, complicados por los variados co
mentarios que las acompañan (de éstos se ha hecho clásico el de
Eutocio sobre Esfera y cilindro, libro II). Este tópico está exhausti
vamente tratado y discutido por Heiberg [8], y sobre todo [10], vol.
3; una breve reseña del estado de conocimiento sobre el particular
previamente al descubrimiento del palimpsesto de Jerusalén se halla
en [5], pp. xxiii-xxxviii y una lista bastante completa de las edicio
nes en [3], p. LIII-LIX.
2.2.Obras conocidas de atribución incierta. En la traducción ára
be de Thabit bin Qurra nos ha llegado un
11.
Liber a^sumptorum, {Libros de Lemas),
atribuido a Arquímedes. Mientras es posible que %este compendio de
resultados geométricos tenga su origen en trabajos de Arquímedes, el
texto que ha llegado a nosotros menciona a Arquímedes por su nom
bre varias veces y no puede por tanto estar en su forma original.
Finalmente tenemos el
12.IIpó^XY¡u.a (Joet^óv,
{Problema de los bueyes),
redactado en forma de epigrama, editado en 1773 por Lessing, que,
según su texto, habría sido propuesto por Arquímedes a Eratóstenes.
Aunque de autenticidad dudosa se sigue considerando posible su atri
bución, aunque no en la forma que poseemos, a Arquímedes. (Ver
[10], [11], [12]).
2.3.Obras conocidas por referencias. En sus propias obras cono
cidas, Arquímedes se refiere a ciertos otros trabajos que habría
redactado. Algunos de éstos son también mencionados por otros auto
res que parecen haberlos conocido. Pueden considerarse como seguros
los siguientes:
13.'Apyost. {Principios; sobre un sistema de numeración; el
título proviene de una cita en el Arenario y es muy dis
cutido. )
- 9 -
�14.Ilepi uy^v* (Sobre palancas.)
15.KsvTpo^apt^á. (Centros de gravedad.)
Solamente mencionados por otros autores se hallan:
16.IIspc ^XtvOt^tóv %ou xuXív^pwv. (Sobre plíntidos (?) y cilin
dros; mencionado por Herón).
17.Investigaciones sobre poliedros semirregulares, m^ncionadas
por Pappus.
18.KaTOTíTpt^á. (Catóptrica; mencionado por Teón).
19.Ilsp^ a^a'.po-oíaq. (Sobre el arte de hacer esferas; mencio
nado por Pappus y por Cicerón.)
Finalmente, según fuentes griegas y árabes, Arquímedes habría
escrito sobre: a) la duración del año; b) el heptágono inscrito en
un círculo (la autenticidad de esta noticia aparece corroborada por
una versión transmitida por Tbabit bin Qurra, ver [7], p. 340) ; c)
círculos tangentes; d) líneas paralelas; e) triángulos; f) propiedades
de triángulos rectángulos; g) un libro de Data; h) sobre clepsidras.
Es seguramente apócrifo el trabajo que se le atribuye sobre los espejos
comburentes, ver [3], pp. XIX-XXI1, [8], pp. 39-41.
Por más referencias, ver [3], [11], [5], [10] vol. 3. Para la con
fección de este trabajo nos hemos basado fundamentalmente en la
traducción al francés de las obras completas por ver Eecke [3] y,
para algunos puntos dudosos, en las propias ediciones en griego y
latín de Heiberg [9], [10].
3.
La contribución científica
3.1. Introducción. En la historia del desarrollo de la Matemática,
las obras de Arquímedes son las primeras investigaciones de carácter
original que han llegado a nosotros en forma textual o casi textual
y no como meros fragmentos. Al llegar, en el estudio de ese desarrollo,
a sus obras, hay una transición brusca de los relatos escuetos de
segunda o tercera mano que poseemos de la obra de los matemáticos
que le precedieron o de su recopilación en los Elementos de Euclides,
a la frescura y el estilo personal que pervaden la de Arquímedes.
Ello parecería dificultar una evaluación justa de la relación que esas
obras tienen con las de sus predecesores; pero, por un lado, el propio
Arquímedes nos habla varias veces con modestia de la medida precisa
en que sus investigaciones superan los resultados hasta entonces cono
cidos, por ejemplo:
...pero ninguno de mis predecesores ha buscado, que yo sepa, la cuadra
tura de un segmento limitado por una recta y una parábola, que ahora he
hallado. (Cuadratura par., introd.)
y por otro los matemáticos posteriores que conocieron directamente
tanto su obra como las que le precedieron dejan un elocuente testi
monio de la poderosa originalidad de Arquímedes.
Consecuentes con la orientación de este trabajo, no consideramos
necesario hacer una reseña general para ubicar a Arquímedes en la
- 10 -
�Historia del conocimiento científico, y más en particular de la Mate
mática, en la Antigüedad. Este desarrollo se encuentra extensamente
tratado, con análisis de las fuentes y de los textos, en Heath [6]; un
resumen algo más reciente se halla en Heath [7]. Seguramente más
interesante para el matemático, y conteniendo muchos puntos de vista
aún más modernos, es la obra de van der Waerden [14]. Nos remi
timos a las obras citadas para una más amplia información en este
sentido.
En esta sección examinaremos brevemente y con un criterio siste
mático (y mayormente con nomenclatura moderna) las contribuciones
originales y otras investigaciones de Arquímedes, mencionando some
ramente los antecedentes correspondientes en cada caso. A este último
respecto, y refiriéndose a la originalidad prevalente en las obras de
Arquímedes, dice Heath:
Thus, the historian of mathematics, in dealing with Archimedes' obligations
to his predecessors, has a comparatively easy task before him. ( [5], p. xl).
3.2. Teoría de las cónicas y cuádricas de revolución. En la teoría
de las cónicas, todo el período que transcurre desde su descubrimiento
por Menecmo hasta la redacción del tratado sobre Cónicas de Apolonio puede calificarse de prehistórico. En él se destacan, aparte del
propio Menecmo, los nombres de Aristeo, Euclides y Arquímedes. En
este breve período, de apenas poco más de 100 años, fueron descu
biertas, aunque en forma poco sistemática, las principales propiedades
de estas curvas. En la época de Euclides ya la teoría se había des
arrollado al punto de permitir la redacción de un tratado sobre cóni
cas, que parece haber coincidido en sustancia con los cuatro primeros
libros del tratado de Apolonio, aunque con menos generalidad.
Arquímedes halló una teoría relativamente bien desarrollada aun
que no dotada, por lo que sepamos, de métodos sistemáticos de inves
tigación. La teoría geométrica de las cónicas no hace el objeto exclu
sivo de ningún trabajo conocido de Arquímedes, pero desempeña un
papel importante en varias de sus obras, y es prácticamente seguro
que a él se deben algunas contribuciones de importancia, relativas en
particular a la parábola {Cuadratura par., Props. 1-5), y otras apli
cadas a la teoría de las cuádricas de revolución {Con. y esf., Props.
3, 7, 8, 9). Entre los aspectos un poco arcaicos que la teoría presenta
en Arquímedes puede mencionarse: a) la nomenclatura: para él las
cónicas siguen definidas, como para Menecmo, como secciones de un
cono recto de base circular ("cono isósceles") por un plano perpen
dicular a una generatriz, distinguiéndose por el ángulo al vértice del
cono, como "secciones de un cono acutángulo" = elipse, "rectán
gulo" = parábola, "obtusángulo" = hipérbola; a pesar de ello sabía
al menos que toda sección oblicua de un cono o de un cilindro circular
recto que corta todas las generatrices de éste es una elipse {Con.
y esf., Props. 7-9) ; b) la consideración de la hipérbola como consis
tiendo de una sola rama; c) el tratamiento analítico esencialmente
diferente de la elipse y de la hipérbola {Con. y esf.).
- 11 -
�En ausencia de pruebas en contrario, Arquímedes debe ser consi
derado como el primero en definir e investigar las cuádricas de revo
lución, que él llama "conoides" ("conoide rectángulo" = paraboloide,
"conoide obtusángulo" = una hoja de hiperboloide de dos hojas)
y "esferoides" .(elipsoides), obtenidas por revolución de las cónicas
alrededor de sus ejes, como lo explica detalladamente en la intro
ducción de Conoides y esferoides. (Por el estado de la teoría de las
cónicas — no se tenía el concepto de eje no transverso de la hipérbola
— Arquímedes no consideró el hiperboloide de una hoja). Las pro
piedades geométricas de estos cuerpos estudiadas por Arquímedes son,
sin embargo, sólo incidentales a la investigación de volúmenes (Con.
y esf., Props. 11-17, Método, Props. 3, 4, etc.), centros de gravedad
(Método, Prop. 5, etc.) y las relativas a los cuerpos flotantes (Cuerpos
flotantes, II, passim), a las cuales nos referiremos más abajo.
3.3.Geometría analítica. Aparte de ciertas formas de definir las
cónicas como lugares geométricos que las hacen aparecer práctica
mente como dadas por sus ecuaciones en coordenadas rectangulares u
oblicuas, hallamos en la matemática griega sólo signos esporádicos de
una geometría analítica. El hábil manejo de las cónicas dadas en esa for
ma por Arquímedes y Apolonio hace pensar, sin embargo, que métodos
de esa índole eran usados en forma más amplia que lo que indicarían
las formulaciones definitivas redactadas en el tradicional lenguaje
geométrico-sintético caro a los pitagóricos y a la escuela de Platón.
En Arquímedes hallamos un brillante ejemplo de un tema plan
teado en una forma esencialmente analítica: es el estudio de la espiral
que lleva su nombre, y cuya definición no es más que una paráfrasis
de la ecuación paramétrica de la curva en coordenadas polares:
r = at6 = bt
donde a, b son constantes y el parámetro t está simbolizado, para
Arquímedes, por el tiempo (Espirales, Definiciones).
El único ejemplo anterior de una definición semejante de un
lugar es el de la curva inventada por Hipias para resolver el problema
de la trisección del ángulo y llamada posteriormente "cuadratriz" por
la aplicación que le dieron Dinóstrato y Nicomedes. Puede situarse
también en este contexto el ingeniosísimo método cinemático ideado
por Arquitas para resolver el problema de las dos medias propor
cionales, equivalente al de la duplicación de cubo. Esta forma de
definición, desusada hasta aquel momento, permite a Arquímedes
obtener las propiedades de la curva definida de la manera más natu
ral, llegando aun a la determinación de la subtangente polar — el
primer resultado conocido perteneciente propiamente a la geometría
diferencial (Espirales, Props. 18-20).
3.4.Álgebra geométrica y construcciones del tipo "veyui?".
La mayor parte de los desarrollos en las obras de Arquímedes con
contenido geométrico están expuestos en el característico lenguaje del
Álgebra geométrica que caracteriza prácticamente toda la Matemática
griega hasta Diofanto. Este punto de vista se origina con los pitagó-
- 12 -
�ricos. Su auge se debe sin duda a que permite esquivar en buena
parte los problemas que suscitó el descubrimiento, debido también
a los pitagóricos, de la existencia de magnitudes inconmensurables.
Su recurso básico es la "aplicación de áreas", llevada a su formu
lación definitiva en los Elementos de Euclides (Libros II y VI), mé
todo que permite la resolución de la ecuación general de segundo
grado. A pesar del uso más restringido que Arquímedes hace de ese
método si se le compara con Apolonio, la aplicación de áreas aparece
usada en varias de sus obras (Equilibrios planos II Prop. 1, Con. y
esf. Props. 2, 25, 26, 29). En este terreno Arquímedes no figura como
innovador.
Otro aspecto importante del Álgebra geométrica es la teoría de
las proporciones. Iniciada por los pitagóricos sobre bases puramente
aritméticas, fracasó ante el descubrimiento de las magnitudes incon
mensurables. Solamente fue reestructurada, sobre un fundamento que
esencialmente aún perdura, por Eudoxo, cuya definición sirve de
base al Libro V de los Elementos de Euclides. Arquímedes fue un
brillante manipulador de la teoría de las proporciones, pero también
aquí las bases ya estaban sólidamente echadas por sus predecesores.
El punto más importante en que Arquímedes contribuyó al tema
de esta subsección es el que se refiere a las ecuaciones cúbicas. Ello
sucede (aparte de un lema mencionado al pasar en el Libro de Lemas,
Prop. 8, aplicable a la trisección del ángulo) sobre todo en Esfera y Ci
lindro, libro II, Prop. 4. El texto que poseemos presenta una impor
tante laguna en ese punto, la cual, de acuerdo con el testimonio de
Eutocio (en el comentario que acompaña todas las ediciones de las
obras de Arquímedes) es muy antigua. Eutocio, en base a un ma
nuscrito que estudió, reconstruye el pasaje defectuoso. El problema
estudiado conduce a una cierta ecuación cúbica expresada en forma
de proporción. Arquímedes, contra su costumbre, parece haber estu
diado en este caso en el propio trabajo una ecuación de forma más
general que la que era necesaria para el propósito, observando incluso
que el problema de esa forma más general requería un "Stopto-p.ó<^"
(discusión de posibilidad), mientras las condiciones de posibilidad
se cumplían necesariamente en el caso particular. El método em
pleado por Arquímedes es una generalización de los métodos de
Menecmo para la resolución del problema de las dos medias propor
cionales (ver más abajo) mediante el uso de la intersección de
cónicas. Por una observación hecha en el prefacio de Conoides y
esferoides, Arquímedes habría estudiado otras ecuaciones cúbicas
similares. El problema de la ecuación cúbica en las obras de Arquí
medes se halla ampliamente estudiado en [5], pp. cxxiii-cxli.
Arquímedes parece haber considerado perfectamente legítimas
tales construcciones, imposibles con la utilización de la regla y del
compás solamente, hallándose un ejemplo típico de su actitud en
Esfera y cilindro libro II, Prop. 1, donde dice sencillamente: "...y
hallemos las dos medias proporcionales H®, MN entre FA, EZ, ..."'.
El problema de la construcción de dos medias proporcionales,
- 13 -
�equivalente, según descubrió Hipócrates, al problema de la du
plicación del cubo, fue objeto de múltiples investigaciones y mé
todos de solución, de los cuales Eutocio, en el comentario citado,
expone varios; de ellos son anteriores a Arquímedes los de Arquitas,
Eudoxo, Menecmo y uno atribuido, aunque seguramente en forma
errónea, a Platón. Es probable que Arquímedes prefiriera el de Me
necmo, basado en la intersección de cónicas.
También se bailan en Arquímedes varios ejemplos de construc
ciones del tipo llamado veüatc (lat.: inclinatio), correspondientes
a casos no resolubles con regla y compás. Arquímedes las usa poco
(Espirales, Props. 5-7), pero tampoco muestra repugnancia por su
uso ni las considera carentes de rigor. El tema relativo a estas cons
trucciones está tratado, en una extensión que excede su incidencia en
la obra de Arquímedes, en [5], pp. c-cxxii.
3.5.Sucesiones y series. Incidentalmente a sus investigaciones
geométricas, Arquímedes considera progesiones aritméticas y sumas
parciales de las series formadas por sus términos o los cuadrados o
expresiones cuadráticas más complicadas de las mismas (p. ej. Espi
rales, Props. 10, 11; Con. y esf., Prop. 3), sea en forma de identi
dades, sea como desigualdades. Los resultados están expresados en
lenguaje geométrico y muestran la soltura con que Arquímedes
manipula proporciones. Es posible que al menos los resultados más
complejos (p. ej. Espirales, Prop. 11) sean originales de Arquímedes,
quien aparentemente no consideró este tema como digno de un
estudio autónomo.
También consideró Arquímedes las progresiones geométricas, lla
madas por él "en proporción continuada" (Arenario, Cuadratura par.
Prop. 23). En la última de las referencias indicadas, Arquímedes
calcula esencialmente las sumas parciales de la progresión de razón
1/4. Combinando el resultado con el método de exhausción (ver subsección siguiente) se obtiene el resultado equivalente a la suma de
la serie infinita correspondiente. Por supuesto Arquímedes nunca
habla de series infinitas, ni siquiera de sucesiones indefinidas; el
tema estaba vedado desde los tiempos de Zcnón y de sus antinomias.
No hay prácticamente duda, sin embargo, de que poseía conscientemente
el concepto, como se ve más claramente en su Método en lo que se
refiere a lo que hoy llamaríamos integrales definidas (ver subsección
siguiente).
2.6.Áreas y volúmenes. Uno de los aspectos primordiales de la
contribución original de Arquímedes se refiere a la determinación de
ciertas áreas de figuras planas y de áreas y volúmenes de figuras
sólidas; algunas de esas figuras, como la espiral y las cuádricas de
revolución, fueron inventadas por el propio Arquímedes.
En cuanto a las áreas planas, todo lo referente a áreas de figuras
limitadas por poligonales ya estaba resuelto al aparecer los Elemen
tos de Euclides, reduciéndose todo a la descomposición de la figura
en triángulos. Las únicas figuras planas que no caen en esta categoría
examinadas previamente fueron el círculo y las figuras limitadas por
- 14 -
�arcos de circunferencia y rectas. El paso principal para poder abordar
estos problemas había sido la obtención del resultado de que la razón
de áreas de figuras semejantes era igual a la de cuadrados construi
dos sobre elementos correspondientes en la semejanza. Este resultado
para círculos y segmentos circulares (lo que basta para los casos pre
viamente mencionados) se remonta, al menos en lo que se refiere
a su enunciado, a Hipócrates. Posiblemente éste lo considerara como
evidente. Su demostración rigurosa solamente se hace posible mediante
el método de exhausción originario de Eudoxo. A Hipócrates se le
atribuye también la "cuadratura" de ciertas "lúnulas" — figuras
limitadas por arcos de circunferencia —es decir una construcción de
un cuadrado equivalente.
En Medida del círculo Arquímedes demuestra —sin mencionar
explícitamente los postulados sobre curvas convexas que se hallan en
Esfera y cilindro, libro I — que el círculo es equivalente a un trián
gulo (que él considera rectángulo) cuya base y altura son iguales al
perímetro y al radio del círculo, respectivamente. En materia de áreas
de figuras planas, y aparte de las figuras llamadas "ap^rjXo?" ^
"aáXtvov" del Libro de Lemas, que son especies de lúnulas y re^ultan
equivalentes a ciertos círculos (Props. 4. 14), Arquímedes consideró
por primera vez los importantísimos casos de la elipse, de la parábola
y de la espiral que lleva su nombre.
El área de la elipse es determinado en Conoides y esferoides,
Props. 4-6, relacionándolo con el área del círculo construido sobre
el eje mayor como diámetro. La demostración procede de manera
natural por comparación de polígonos inscritos en posición afín.
Es en la cuadratura del segmento de parábola donde Arquímedes
parece haber aplicado por primera vez el método analítico-heurístico
que expone en el Método (Prop. 1). Se trata de una analogía mecá
nica basada en la teoría de la palanca, obra también de Arquímedes
(ver subsección 3.9), en la cual se comparan secciones de la figura
a estudiar con secciones correspondientes de figuras auxiliares de pro
piedades conocidas, de tal manera que la figura a estudiar y la figura
de comparación aparezcan intuitivamente como "sumas" de secciones
elementales. Puede decirse que este método corresponde a la idea
ingenua de la integral definida como "suma infinita de infinitésimos".
Es de hacer notar, sin embargo, que Arquímedes sabía muy bien
que su Método no implicaba una demostración rigurosa (ver capítulo
II, sección 3). Más adelante analizaremos el significado de este mé
todo más en detalle. La demostración rigurosa de la cuadratura del
segmento de parábola se halla en la Cuadratura de la parábola por
dos vías: una primera demostración, también basada en la teoría de
la palanca, por descomposición de las áreas a comparar en franjas
paralelas; y una segunda, puramente geométrica, obtenida agotando
el área del segmento mediante una suma creciente de triángulos
(Props. 6-17 y 18-24 respectivamente). Si bien la primera demostra
ción reposa sobre postulados diferentes, correspondientes a la estática
y enunciados en Equilibrios planos, libro I, Arquímedes no la consi
dera menos rigurosa, como han querido sostener algunos.
- 15 -
111058
�La cuadratura del área limitada por la espiral de Arquímedes
y un dado radio vector es obtenida de manera natural por exhausción
mediante sumas de sectores circulares inscritos y circunscritos (Espi
rales, Props. 21-28).
La determinación del volumen de figuras en el espacio se inicia
en forma científica con Eudoxo, quien aplicó su teoría de las propor
ciones y su método de exhausción a la determinación del volumen
de la pirámide de base triangular y con ello a poliedros cualesquiera.
Además Eudoxo, según el testimonio del propio Arquímedes (p. ej.
Esf y cil. I, introd.), estableció por primera vez los volúmenes del
cono y del cilindro de bases circulares; aunque refiriéndose a su
propio método analítico Arquímedes le atribuye a Demócrito un
procedimiento similar para la determinación del volumen del cono,
que él considera muy meritorio aun teniendo en cuenta su falta de
rigor (Método, introd.).
Arquímedes ataca por primera vez con éxito, según su propio
testimonio, la determinación del volumen de la esfera y del segmento
y del sector esféricos. Esta investigación está íntimamente vinculada
a la de las áreas del cono, del cilindro, de la esfera y de la zona
esférica. Aquí fue nuevamente su método mecánico-analítico el que
proveyó a Arquímedes el valor del volumen de la esfera y del seg
mento esférico (Método, Props. 2, 7) mientras que la demostración
rigurosa se halla más bien supeditada metodológicamente a la deter
minación del área de la superficie y de la zona esféricas. Más abajo
(capítulo II, sección 3) analizaremos en detalle el proceso de estos
descubrimientos según surge de los textos. Las demostraciones rigu
rosas se hallan en Esfera y cilindro^ libro I y proceden por exhaus
ción para los voliímenes y por encerramiento entre superficies con
vexas calculables para las áreas. (Ver más abajo).
En forma análoga se establecen los volúmenes del elipsoide de
revolución (esferoide) y de segmentos del mismo y de las otras cuádricas de revolución consideradas por Arquímedes (Método, Props. 3,
4, 10, 11; Con. y esf. Props. 18-32), así como las de ciertas figuras
obtenidas por intersección de planos y cilindros (Método, Props.
12-15).
En la determinación de áreas planas y de volúmenes por el mé
todo de exhausción interviene un principio que sustituye legítima
mente el moderno pasaje al límite. En la mayor parte de los casos
se trata del así llamado "postulado de Arquímedes", que él mismo
atribuye, sin embargo, a sus predecesores (Cuadratura par., introd.)
y que en Esfera y cilindro, libro I enuncia así:
5. además, de líneas desiguales, superficies desiguales y sólidos desiguales
el mayor excede el menor en una magnitud tal que, sumada a sí misma,
puede hacerse exceder cualquier magnitud prefijada que posea una razón
con una y otra de las primeras.
En algún otro caso, por ejemplo en la demostración geométrica para
la cuadratura del segmento de parábola (Cuadratura par. Prop. 24)
o en lemas sobre polígonos inscritos y circunscritos (Esf. y cil. I,
— 16 -
�Prop. 5), usa una forma ligeramente diferente del mismo principio,
diciendo específicamente, en la última de las referencias mencionadas,
"pues esto nos ha sido transmitido en los Elementos^; parece fuera
de duda que la referencia es a los Elementos de Euclides, Libro
XII, Prop. 2, pues ésta contiene el lema en la forma allí usada.
Para la determinación de áreas de superficies no planas Arquímedes reconoce la necesidad de introducir postulados aceca de tales
superficies, en particular de las superficies convexas ("¿^i xoc auxot
xoÍXy)", "cóncavas del mismo lado"). Estos postulados expresan las
relaciones de desigualdad de áreas de tales superficies con borde
plano y contenida una entre la otra y el plano del borde {Esf. y cil.
I, Postulados 3, 4). Estos postulados permiten hallar el área de una
superficie convexa cuando se posee superficies contenida y continente
de diferencia arbitrariamente pequeña.
3.7. Aproximación de irracionales. La teoría de los irracionales,
o más propiamente de las "razones inconmensurables", se origina con
el descubrimiento de la inconmensurabilidad del lado de un cuadrado
con la diagonal (irracionalidad de \/2) por los discípulos de Pitágoras. El tema parece haber sido vuelto a considerar solamente por
Teodoro, maestro de Platón, quien mostró la irracionalidad de las
raíces cuadradas de 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17. El tema
fue brillantemente desarrollado por Teeteto, a quien se debe sustancialmente el Libro X de los Elementos (ver a este respecto [14], cap.
VI), siendo ése el estado definitivo de la teoría en la época de Arquímedes.
Este último no se ocupó, en sus obras conocidas, de la teoría
de los irracionales propiamente dicha. Su contribución se refiere al
cálculo aproximado de raíces cuadradas y del número %. Estas in
vestigaciones pertenecen a la disciplina llamada por los griegos
XoYtaxtxT) o Arte de calcular. Nuestros conocimientos de estas contri
buciones se basan en el trabajo Medida del Círculo, que poseemos en
una versión algo corrompida. En él Arquímedes da aproximaciones
por exceso y por defecto de ^ que implican 3 1/7 < z < 3 10/71
(posteriormente mejoradas, según Herón, en Puntidos y cilindros,
ver [10], vol. 2, p. 542). El método consiste en encerrar la longitud
de la circunferencia entre las longitudies de poligonales regulares de
96 lados, inscrita y circunscrita. Constituye este trabajo la primera
referencia que tenemos de una aproximación de tx con fundamento
matemático conocido (los egipcios usaban al parecer ti/4 = (8/9)2 y
los babilonios % = 3, ver [14]).
En el trabajo mencionado Arquímedes usa aproximaciones racio
nales de diversas raíces cuadradas, muy en particular la aproximación
265/153 < \/^ < 1351/780, sin explicar el método que le condujo a
esos precisos valores. Estas aproximaciones, que parecen ser las prime
ras que se hallan después de las atribuidas a Pitágoras, Aristarco y
Teodoro, han sido objeto de numerosas conjeturas, acerca de las cua
les nos remitimos a [5], pp. lxxvii-xcix y [14], cap. VII y a las re
ferencias allí indicadas. Sería aventurado suponer que Arquímede3
- 17 -
�poseía conscientemente los principios de la teoría de las fracciones con
tinuas, pero parece fuera de duda que sabía valerse de procesos de
iteración estrechamente conexos con aquélla.
3.8. Contribuciones matemáticas menores. Entre las contribucio
nes restantes seguramente atribuibles a Arquímedes encontramos el
invento de un sistema de numeración que permite expresar números
naturales muy elevados. Es el conocido sistema de las "octadas": los
números del 1 hasta la "miríada de miríadas" (108) forman "los pri
meros números"; la miríada de miríadas siguiente, "los segundos
números", siguiendo así hasta los "miríada-miriadésimos números"
(108(108-1) a 108.108); todos estos números forman el "primer pe
ríodo"; los 108.108 siguientes, el "segundo período" y así
"¿•; tcj^ [^uptax.[ff¡rjp lóala^ irepió^ou ^upiaxia^'jpioaTwv aptO^wv ^opía^
[^uptá^as", "hasta una miríada de miríadas de los miríada-miriadésimos
números del miríada-miriadésimo período", o sea 108.10a6. Este sistema
había sido expuesto en una comunicación, posiblemente con el título
"Principios", a Zeuxipo, y se halla resumido en el Arenario. En vista del
probable carácter incidental de estos trabajos y su difusión nula no
parece de mucho provecho analizar la vinculación de este sistema
con otros sistemas de numeración anteriores y posteriores (por deta
lles ver [6], [14]), pero sí sirve para evaluar la imaginación y el
vasto campo de interés de Arquímedes.
Pappus le atribuye a Arquímedes el descubrimiento de los 13
poliedros "semirregulares", complementando así el descubrimiento de
los poliedros regulares por la escuela de Pitágoras. De confirmarse
la noticia, sería una nueva corroboración del amplio campo abarcado
por Arquímedes y de su talento el que hubiera descubierto la tota
lidad de los cuerpos en esa categoría.
De las restantes investigaciones geométricas atribuidas a Arquí
medes, de las cuales tienen más visos de autenticidad las del Libro
de Lemas, es particularmente interesante la construcción, por veGat^,
del heptágono inscrito en un círculo que poseemos indirectamente
en una versión árabe (ver [7], p.340). El ^^ogá^iov o loculus Archimedius, una especie de rompecabezas refinado, fue tenido durante
mucho tiempo por apócrifo, hasta el descubrimiento del palimpsesto
de Jerusalén. Consiste en un complicado problema de partición del
cuadrado en polígonos conmensurables. Posiblemente fuese concebido
esencialmente como diversión.
Finalmente se atribuye a Arquímedes el famoso Problema de los
bueyes, que consiste en un sistema de ecuaciones indeterminadas en
8 variables (problema "diofántico"). La autenticidad de este problema,
la oportunidad de su proposición, las dudas sobre el significado pre
ciso de su enunciado han dado lugar a múltiples conjeturas. El punto
se halla discutido en [12], [1] y [11]. De haberlo realmente propuesto
y resuelto, aun parcialmente, Arquímedes, resultaría que era capaz de
atacar problemas relativamente complejos del análisis indeterminado
lineal. En cambio puede afirmarse con certeza que Arquímedes no
poseía la solución efectiva del problema completo, la cual, como es
sabido, consiste en 8 números de no menos de 200.000 cifras cada uno.
- 18 -
�3.9. Mecánica (Estática). Arquímedes parece haber sido el pri
mero en preocuparse seriamente de una fundamentación teórica de
los fenómenos mecánicos. Arquitas y Eudoxo habían utilizado razo
namientos cinemáticos de cierta complejidad, pero éstos no parecen
haber tenido relación alguna con conceptos dinámicos. Los trabajos
de Arquímedes en el terreno de lo que podríamos llamar Estática
de los sistemas de cuerpos rígidos se concentran sobre los problemas
relativos al centro de gravedad de cuerpos y sistemas y al equilibrio
de sistema con un eje fijo solicitados por fuerzas perpendiculares al
mismo (palancas), es decir, todos problemas concernientes, en nues
tra nomenclatura, a momentos de primer orden. Entre las obras de
Arquímedes que se han perdido se menciona una sobre Centros de
gravedad y otra Sobre palancas, posiblemente coincidentes. Es de
presumir que en ellas Arquímedes investiga la relación entre centros
de gravedad y puntos de suspensión, utilizada en Cuadratura de la
parábola, (Props. 6, 7) y que las investigaciones correspondientes
preceden la redacción de los Equilibrios planos y del Método.
Arquímedes parte de postulados sencillos (Equilibrios planos I),
entre los cuales vale la pena destacar el N9 7:
en toda figura cuyo perímetro es cóncavo en el mismo sentido el centro
de gravedad debe estar contenido en la figura,
para fundamentar la teoría del equilibrio de sistemas de figuras pla
nas solicitadas por fuerzas paralelas contenidas en su plano y pose
yendo un punto fijo. Que la restricción a figuras planas no representa
una limitación conceptual para Arquímedes resulta del hecho que
en el Método aplica los mismos principios con la máxima soltura a
figuras sólidas (cilindros, conos, esferas, esferoides, paraboloides).
Parecería más bien que Arquímedes, innovador en la materia, creyó
necesario formalizar primero una versión más sencilla de la teoría.
En la estructuración de la misma llega a la propiedad funda
mental de la palanca (proporcionalidad recíproca de magnitudes y
brazos, Equilibrios planos, I, Props. 6, 7) ya la determinación del
centro de gravedad de paralelogramos, triángulos, trapecios (ibid.
Props. 9-15) y, como resultado cuya demostración ocupa todo el libro
II, el de un segmento de parábola.
En el Método, Arquímedes determina por la vía analítica y en
forma enteramente análoga a la usada para hallar áreas y volúmenes
los centros de gravedad de: segmento recto de paraboloide, hemis
ferio, segmento esférico, segmento recto de elipsoide y de hiperbo
loide (Props. 5, 6, 9-11). No poseemos las demostraciones rigurosas
correspondientes, aunque es fácil de imaginar cómo Arquímedes
habría procedido al efecto en una teoría que incluyera los cuerpos
sólidos.
3.10. Hidrostática. La Hidrostática es también un campo al cual
dio Arquímedes por primera vez un tratamiento teórico, creándola por
así decir de la nada. Basada en sólo dos postulados (principio de
las presiones y transmisión vertical de las fuerzas) deduce en un
- 19 -
�primer libro de sus Cuerpos flotantes la esfericidad de la superficie
libre de un líquido (!) (Prop. 2), las condiciones de flotabilidad
(Props. 4-6), el "principio de Arquímedes" relativo a la pérdida de
peso experimentada por un cuerpo sumergido (Prop. 7) y las posi
ciones de equilibrio y estabilidad de las mismas de segmentos esfé
ricos cuyo contorno no corta la superficie libre (resultan con el eje
del segmento en posición vertical; Props. 8, 9).,
No contento con ello, en el libro II Arquímedes hace un análisis
exhaustivo de las condiciones de flotabilidad, posiciones de equilibrio
y estabilidad de las mismas de un segmento recto de paraboloide de
revolución para diversas relaciones de densidad, diversas alturas del
segmento y posiciones diversas del mismo bajo la única restricción
de que el contorno del segmento no corte la superficie libre del líqui
do (supuesta plana en este libro). Heath dice:
Book II is a tour de forcé, and must be read in full to be appreciated.
([7], p. 335).
Esta apreciación está ampliamente justificada si se tiene en cuenta
que en algunos de los casos las posiciones de equilibrio estables no
corresponden siquiera a una orientación vertical del eje del segmento.
Sobre todo desde el hallazgo del texto griego de este tratado, es
innecesario agregar comentarios a un trabajo cuya claridad dentro de
la dificultad del tema es ejemplar.
3.11. Astronomía y Óptica. A diferencia de varios de los mate
máticos que le precedieron (en particular Eudoxo), Arquímedes no
parece haberse dedicado a investigaciones teóricas en cinemática
celeste. Sin embargo, contra su referido desdén por las artes de tipo
técnico, parece establecido que construyó un planetario, un sistema
de esferas móviles (a diferencia de las esferas celeste? fijas que se
remontan a Tales y Anaximandro) para representar los movimientos
aparentes de los planetas, escribiendo un tratado sobre el particular,
Sobre el arte de hacer esferas. Este planetario, o quizá uno de varios
fabricados por Arquímedes, fue visto por Cicerón, quien refiere (De
rep. I) que ese instrumento era el único despojo que el triunfador
Marcelo quiso conservar del saqueo de Siracusa.
En el Arenario, Arquímedes refiere sus propias observaciones
para determinar el diámetro aparente del sol; describe el instrumento
utilizado para ello y la corrección que cree necesaria "porque el ojo
no ve desde un punto, sino desde una cierta área". Su resultado es
que el diámetro aparente se halla entre 1/164 y 1/200 de un ángulo
recto, es decir 27 0" < 8 < 32'56", (los valores correctos actual
mente oscilan alrededor de 3159.3" como valor medio). En el mismo
Arenario explica con lujo de detalles la correción necesaria para
reducir observaciones hechas en la superficie de la tierra al centro
de la misma, al menos para el caso de hallarse el sol en el horizonte.
Hiparco y Ammiano atribuyen a Arquímedes determinaciones de
la duración del año, basadas en observaciones del mismo ([10], vol.2,
p.554).
- 20 -
�Finalmente, Teón refiere que Arquímedes confeccionó un tratado
de óptica (Catóptrica), sobre el cual no tenemos más referencias
([10], vol.2, p. 549).
3.12. Inventos técnicos. La fama contemporánea de Arquímedes
se basaba sobre todo en sus numerosos inventos en el terreno técnico.
Aquí sólo los enumeraremos brevemente, para redondear nuestra
presentación de sus contribuciones.
Los inventos principales parecen referirse a sistemas de trans
misión de potencia perfeccionados, pudiéndose mencionar aparejos de
poleas y el tornillo sin fin, mediante los cuales demostró la posibi
lidad de mover grandes masas con pequeño esfuerzo ^o resolver el
problema "cómo mover una masa dada con una fuerza dada"). Otro
lugar de importancia entre sus inventos lo ocupan las máquinas de
defensa ampliamente descritas por Polibio y Plutarco. Se le atribuye
además el invento o al menos el perfeccionamiento de la bomba heli
coidal y de ciertos mecanismos movidos por agua, quizá relojes ( se
dice que escribió un tratado sobre clepsidras), un órgano o aun el
planetario arriba mencionado.
En cambio parece definitivamente relegada a la categoría de
leyenda la noticia del uso por Arquímedes de espejos cóncavos para
incendiar las naves enemigas (por referencias ver sección 2 arriba),
aunque no está excluido que en su Catóptrica haya estudiado las
propiedades teóricas de espejos cóncavos y quizá fabricado algún
modelo.
CAPITULO II
LA PERSONALIDAD CIENTÍFICA
1.
Introducción
Para llegar a una apreciación de la personalidad científica de
un investigador, es necesario recurrir fundamentalmente al estudio de
sus propias obras, complementadas por la discusión crítica que se
haya hecho de ellas; las referencias suplementarias que poseamos
acerca de su vida y persona pueden servir de elemento auxiliar.
En el caso de Arquímedes este estudio puede encararse con el
mayor provecho mediante la mera consideración crítica de los tra
bajos que de él poseemos. El estilo en que están escritos y el material
informativo representado por los numerosos prefacios nos permiten
tener una idea de la personalidad científica de su autor más clara
quizá que la que podemos hacernos de científicos considerablemente
más recientes.
Lo que primeramente impresiona al leer estos trabajos es la fres
cura de su estilo, su elegancia y su originalidad, impresión corro
borada por quienes más se han ocupado de ellos: dice Heath, en una
época en que aún no se conocía el Método:
... the intelligent reader cannot fail to be struck by the remarkable range
of subjects and the mastery of treatment. And if these are such as to
créate genuine enthusiasm in the student of Archimedes, the style and
raethod are no less irresistibly attractive. ([5], p. vi).
- 21 -
�.. .and his complete originality cannot fail to strike any one who reads his
works intelligently. ([5], p. xxxix).
En consecuencia no nos parece que cometemos un anacronismo
si aplicamos al análisis de la personalidad de Arquímedes que desea
mos hacer, criterios modernos; sin perder de vista, claro está, el
estado de los conocimientos matemáticos de su época. Ello quiere
decir que podemos confrontar esa personalidad con los diversos
aspectos que se presentan en el trabajo de los investigadores en nues
tra propia época sin tener que forzar la comparación, o así al menos
esperamos mostrar en lo que sigue.
La naturaleza de esos aspectos es familiar a todo matemático, y
ciertos autores, como Poincaré ([13], especialmente pp. 43-63) y
Hadamard ([4]), se han esforzado por analizar en particular los
referentes al proceso mismo de invención. En las secciones que siguen
pasaremos en revista algunos de esos aspectos, que servirán para
caracterizar más acabadamente la personalidad de investigador de
Arquímedes.,
2. El investigador original
Si comparamos las obras y las personas de Arquímedes y de
Euclides observamos inmediatamente un gran contraste. En las obras
que nos han llegado de ambos y en lo que sabemos de sus vidas
Arquímedes aparece como un investigador original nato, mientras
Euclides tipifica un genio de la didáctica. Estas dos tendencias pueden
reconocerse, con predominancia de una u otra, como do6 aspectos
netamente contrarios — aunque a veces no excluyentes — en todos
los matemáticos hasta nuestros días.
La polarización en los casos señalados es extremadamente neta:
la reconocemos en el contenido de los trabajos, en la forma de expo
sición, y aun en las anécdotas.
Las únicas de éstas que de Euclides se conocen nos lo presentan
como una típica personalidad magisterial; tanto cuando ridiculiza la
pretensión de un discípulo que desea saber cuánto puede ganar con
el conocimiento de la primera proposición de los Elementos, orde
nando a su esclavo: "Dale tres óbolos, pues necesita lucrar con lo
que aprende", como cuando le observa al rey que "no hay camino
real para la Geometría". De Arquímedes, en cambio, no está referido
siquiera que tuviera discípulo alguno, y todo lo que sabemos de sus
cualidades personales y de su modo de vida nos indica que no los
tuvo.
De todos los trabajos de Euclides, el que más fama ha tenido es
^totxt^ los Elementos; ya poco después de su muerte, era conocido
solamente como ó ffTOixs'.toTi^^, "el autor de Io3 Elementos". Si bien es
indudable que éstos contienen contribuciones originales de Euclides,
su sustancial y primordial propósito es una exposición comprensiva
de los conocimientos a que se refieren, como es norma en los buenos
libros de texto. Falta casi por completo la nota personal. También
los restantes trabajos que se conocen de Euclides por su texto o por
- 22 -
�referencias tienen el carácter de compendios, tratados o textos de
referencia.
De Arquímedes, en cambio, no se conocen trabajos que no lleven
el sello inconfundible de su investigación personal, que el autor se
preocupa de delimitar precisamente de lo ya conocido: esto lo hace
con sencillez y sin falsa modestia, diciendo por ejemplo:
Así no he vacilado en poner esas propiedades a la par de aquellas ... rela
tivas a las figuras sólidas, examinadas por Eudoxo, que parecen las más
importantes ... (Esf. y cil. I, introd.) .
El propósito de sus trabajos es justamente el de comunicar esos resul
tados nuevos a sus colegas y no el de proveer un texto de enseñanza.
Por ello el material que contienen, si bien está admirablemente bien
organizado, no tiene en general el carácter de una exposición metódica
de una teoría, sino que está puesto exclusivamente al servicio del
problema que el autor tiene entre manos.
Abriendo un breve paréntesis, es interesante mencionar en este pun
to dos tendencias diferentes en la manera de orientar los matemáticos
sus investigaciones. Hay aquéllos que gustan de resolver problemas,
sea aislados, sea elaborando un método general, mientros otros sólo
se sienten a sus anchas en la estructuración y perfeccionamiento de
grandes teorías. Las contribuciones de unos y otros son necesarias
para el progreso de la disciplina; la distinción no se refiere siquiera
necesariamente a la sustancia de los descubrimientos, sino que es de
carácter psicológico, describiendo una actitud mental. Arquímedes se
sitúa bastante netamente en el primer grupo, hecho evidenciado aun
en sus teorías más articuladas, los Equilibrios planos y los Cuerpos
flotantes, donde, después de describirse los principales principios de
una teoría, el autor se concentra en el análisis exhaustivo de un
problema seleccionado. En este sentido Arquímedes contrasta neta
mente con Apolonio, para citar el ejemplo contemporáneo más
notable.
Particularmente característico de las cualidades de investigador
de Arquímedes es el Método, que representa, a la par del primer
trabajo propiamente analítico, la primera exposición de un método
heurístico de investigación, instrumento de un tipo al parecer total
mente ajeno a la didáctica matemática corriente de la época y, para
qué negarlo, de todas las épocas.
De especial interés en este contexto son las introducciones que
acompañan a buen número de los trabajos, en que el autor explica
a sus colegas el propósito del trabajo, su relación con lo ya reali
zado, algunas indicaciones acerca de las ideas que le movieron a
considerarlo y aun la rectificación de algún resultado previamente
comunicado que había resultado erróneo (Espirales, introd.). Frecuen
temente surge de estas introducciones la existencia de una correspon
dencia más intensa que la que se conservado y aun contactos perso
nales, en los cuales Arquímedes habría comunicado los enunciados
de las proposiciones que ahora se propone demostrar. Todo esto
recuerda muy vividamente el investigador en la vida matemática de
- 23 -
�nuestros días o aún más la época, no tan remota, en que las revistas
matemáticas no habían alcanzado aún un desarrollo apreciable.
3.
El proceso de creación científica
Son muy contados los casos de investigadores acerca de los cuales
poseemos una información más precisa sobre el proceso de elabora
ción mental de sus descubrimiento. Ese proceso se visluirfbra a veces
en la versión definitiva de sus resultados; el lenguaje geométricosintético corriente en la Matemática de los griegos no es por cierto
apropiado para permitir muchas deducciones de ese tipo. Esta apre
ciación incluiría el caso de Arquímedes si no conociésemos más obras
de él hoy que a principios de este siglo. Wallis opinaba:
Arthimedes seems as it were of set purpose to have covered up the traces
of his investigations, as if he had grudged posterity the secret of his method
of inquiry, while he wished to extort from them assent to his residís ...
not only Archimedes, but nearly all the ancients, so hid from posterity
their method of Analysis (though it is clear that they had one) that more
modern mathematicians found it easier to invent a new Analysis than to
scek otit the oíd.
Esta opinión era aún compartida por Heath en 1897 ([5], p. viii).
En el caso de Arquímedes el hallazgo del Método ha cambiado
radicalmente la situación al respecto; tan es así que en lo que se re
fiere a algunos descubrimientos al menos estamos mejor documentados
sobre Arquímedes que sobre casi ningún otro matemático hasta cerca
de nuestros días. No es un accidente que para documentar sus "tres
pequeñas contribuciones a la psicología del pensamiento matemático"
van der Waerden [15] haya elegido dos ejemplos: uno referente a
sus propias investigaciones y el otro precisamente el de las investiga
ciones sobre áreas y volúmenes de Arquímedes.
Nada mejor para dar una idea de ese proceso que analizar un
ejemplo concreto, lo cual haremos someramente a continuación. He
mos elegido el hallazgo del área y del volumen de la esfera, al igual
que van der Waerden, porque es seguramente el que más de cerca
permite seguir el pensamiento del autor; el estudio mencionado de
van der Waerden nos provee para ello de preciosos puntos de vista,
aunque creemos que quizá no se refiere con suficiente énfasis a algu
nos puntos sutiles pero importantes en el pasaje del Método a Esfera
y cilindro, por estar abocado al estudio del problema más restringido
de la intervención relativa de intuición y razonamiento en el descubri
miento matemático.
Sólo describiremos escuetamente los aspectos importantes desde
nuestro punto de vista, remitiéndonos para los detalles técnicos a los
propios trabajos de Arquímedes y a [15], pp. 11-19.
¿Cómo encara Arquímedes este problema? El primer paso del
proceso consiste en una determinación heurística del volumen de la
esfera. Para obtenerla, Arquímedes se guía por la analogía con la de
terminación previa del área del segmento de parábola. Considerare
mos, por tanto, en primer lugar esta determinación.
- 24 -
�Para ello se recurre a una analogía mecánica, proveniente de la
teoría de los equilibrios planos elaborada por Arquímedes. El procedi
miento consiste en considerar el segmento de parábola y una fi
gura de comparación, el triángulo limitado por la cuerda FA del
segmento, la tangente a la parábola en F y la paralela por A al eje
de la parábola. Se determina, por resultados sobre cónicas, la rela
ción de las longitudes de los trozos determinados por segjnento y
triángulo sobre las rectas paralelas al eje de la parábola. Si ahora
se considera el triángulo suspendido en su porición por la mediana FK
de una palanca FKB (FK = K@) apoyada en K, el principio fun
damental de la palanca implica que para una cualquiera de las rec
tas paralelas consideradas, el trozo determinado por el triángulo, en
su propia posición, equilibra el determinado por el segmento de pará
bola, suspendido ele B. Parece, pues, razonable que el triángulo en su
posición equilibre el segmento entero suspendido en B; el conoci
miento de la posición del centro de gravedad de un triángulo implica
entonces inmediatamente, por una nueva aplicación del principio de
la palanca, que el área del segmento de parábola es 1/3 de la del
triángulo (Método, Prop. 1). Arquímedes dice claramente:
Lo que acabamos de decir no prueba, claro está, lo que precede, pero da
hasta cierto punto la idea de que la conclusión es correcta; por ello, re
conociendo nosotros mismos que la conclusión no está demostrada, dare
mos en su lugar la demostración geométrica...
El método descrito se aplica por analogía al caso de la esfera. La
dificultad reside en la elección de un cuerpo adecuado de compa
ración. Arquímedes resuelve este punto considerando, no la esfera
sola, sino el conjunto formado por la esfera (S) y el cono recto de base
circular (K) de altura y radio iguales al diámetro de la esfera, equili
brándolos, suspendidos de un extremo de un brazo de palanca, con
el cilindro (C) de misma altura y radio que el cono, colocado de modo
de formar su eje el otro brazo de la palanca, igual al primero. Siendo
conocidos los volúmenes de cono y cilindro y la posición del centro
de gravedad de éste, resulta inmediatamente: vol(S) + vol(K) = ^4
vol(C), vol(K) = V3vol(C), de donde vol(S) = V6vol(C), lo que
Arquímedes expresa diciendo que vol(S) = 2/3vol(Co), donde
(Co) es el cilindro de misma altura y mismo diámetro que (S), siendo
su volumen por tanto 1/i del de (C): (Método, Prop. 2). En forma
enteramente análoga se halla el volumen de todo segmento esférico (de
una base) (Método, Prop. 7).
Pasemos en revista los pasos que han intervenido hasta aquí:
a)elaboración de la teoría de los equilibrios y centros de gra
vedad;
b)aplicación de un método mecánico al problema geométrico
de la parábola;
c)consideración heurística de las figuras como "sumas" de seg
mentos;
d)aplicación por analogía a la esfera;
e)elección de los cuerpos de comparación.
- 25 -
�No es éste el lugar para discutir el punto a) (ver sección 6 más
abajo). Un paso decisivo lo constituye el b), que introduce un método
"de Matemática Aplicada", basado en postulados diferentes, en proble
mas puramente geométricos. Puede comprenderse, sin embargo, el pro
ceso por el cual Arquímedes llegó a establecer la conexión. Ello surge
del análisis de Equilibrios planos, libro I, en el que se refiere a la
determinación de centros de gravedad. Después de todo,^ los procedi
mientos empleados a este fin están íntimamente vinculados a la com
paración de áreas planas y aun a la disección de figuras en franjas pa
ralelas (p. ej. Equilibrios planos, I, Prop. 13). Parece casi seguro que
el hallazgo del área del segmento de parábola (aunque no la redac
ción de Cuadratura de la parábola) se sitúa entre las investigaciones
correspondientes al libro I y las correspondientes al libro II de Equili
brios planos.
El paso c) es a la vez el más interesante psicológicamente y el
más fácil de comprender para la mentalidad matemática moderna; la
misma idea está representada por el Principio de Cavalieri. El honor
de haber tenido esta idea por primera vez no parece corresponder, sin
embargo, a Arquímedes: él mismo dice:
Es así como, en lo que concierne a las proposiciones relativas al cono y a
la pirámide, de las que Eudoxo como primero halló la demostración ...
una parte no despreciable debe atribuirse a Demócrito, quien, como pri
mero, afirmó estas cosas sin demostración ... (Método, introd.).
Que el método de Demócrito consistía realmente en comparar las pirá
mides, por ejemplo, comparando secciones correspondientes de las mis
mas por planos paralelos parece confirmado por el análisis de las otras
fuentes (ver [7], pp. 119-120). De todas maneras, Arquímedes fue su
mamente hábil en la aplicación, no exenta de peligros, de esa idea.
La tentación de considerarla un método riguroso hubiera sido, sin duda,
muy grande si no fuese por la mentalidad disciplinada por la geome
tría sintética y la luminosa claridad de la teoría de las proporciones
de Eudoxo; y más de un matemático de tiempos posteriores cayó en
esa trampa.
Demócrito probablemente tuvo su método por una demostra
ción, lo cual, por otra parte, no debe haber contribuido a mejorar la
pésima opinión que Platón tenía de él, como es sabido. Arquímedes,
en cambio, estructura conscientemente todo un procedimiento siste
mático, aun sabiendo perfectamente que
la investigación por este método no implica una demostración; (Método,
introd.),
haciéndolo, sin embargo, porque
la búsqueda de la demostración, precedida de un cierto conocimiento de
los asuntos por este método es, en efecto, más fácil que su búsqueda sin
ese conocimiento. (Método, introd.).
Puede decirse, pues, que por lo que sepamos hoy Arquímedes es el
inventor de la heurística como actividad consciente en Matemática. No
- 26 -
�es necesario explicar a un matemático el mérito que ello representa;
es aún más grande si tenemos en cuenta la rigidez metodológica prevalente en la época.
Continuemos el análisis de los pasos reseñados, van der Waerden
se refiere a esa sensación de certeza que el investigador adquiere al
intuir un método de solución; es probable que Arquímedes, luego del
éxito obtenido con el segmento de parábola (precedido de qutén sabe
cuántos fracasos) y aun previamente a una confirmación rigurosa de
este resultado, haya experimentado con su método en otras figuras.
Estas serían planas primero, pero no es pedir demasiado de quien ha
elaborado él solo toda la teoría de la palanca el suponer que aplicaría
muy pronto el mismo método a figuras sólidas. Falta, pare ello, la
formalización del fundamento teórico, al menos en las obras cono
cidas; es indudable, sin embargo, que al menos los aspectos más sen
cillos de la teoría general fuesen para él familiares y que los aplicara
sin más comentario a su Método.
Es probable que otros ya se hubieran esforzado de hallar el pro
cedimiento que permitiera aplicar los poderosos recursos introducidos
por Eudoxo a la determinación del volumen de la esfera; diremos
algo un poco más abajo sobre las posibles dificultades que los detu
vieron. El problema, a diferencia de lo que sucedía con el segmento
de parábola (Cuadratura par. introd.), estaría, pues, "en el orden del
día", siendo natural que Arquímedes eligiera la esfera como objeto si
guiente de aplicación de su método. Esto constituye el paso d).
¿Qué elegir como cuerpo de comparación? El ideal sería una
"cubatura", es decir la obtención de un cubo, o al menos de un polie
dro equivalente. La analogía con el segmento de parábola daría como
cuerpo de comparación un prisma triangular (manteniendo el ancho
constante) ; pero la determinación del mismo implica la cuadratura
del círculo. Posiblemente Arquímedes haya emprendido primero ese
camino, guiándose precisamente por la analogía. ¿Qué lo llevó enton
ces a elegir el sistema más complicado de cono y cilindro? Las razo
nes son posiblemente las siguientes: en primer lugar, la cuadratura
del círculo es un recurso incómodo (aunque para Arquímedes no pro
hibido; ver Medida del círculo)^ y de evitarse, si posible; como la
determinación del prisma depende de una sola cuadratura, es posible
"deshacerla" sustituyendo un cuerpo de revolución; en segundo lugar,
Arquímedes tendría ya formada, probablemente, la idea, analizada más
abajo, de comparar la esfera con un cono con el objeto de determinar
el área de la superficie. Todo apuntaba, por tanto, hacia una compa
ración con figuras de revolución. Una aplicación ingenua daría, sin
embargo, un paraboloide como figura de comparación, empeorando la
situación. El introducir entonces el cono como elemento auxiliar de la
"pesada" es un verdadero hallazgo y confiere el último toque de ele
gancia a la demostración, hablándonos elocuentemente de la perfección
que Arquímedes busca dar aun a razonamientos que, como él mismo
lo admite, no hacen las veces de una demostración. El hecho que fue
ran conmensurables cilindro, cono y esfera es hecho resaltar:
- 27 -
�... y ninguno de [quienes se han ocupado de geometría antes de nosotros]
había observado que esas figuras poseían una común medida. (Esf. y cil.,
I, introd.).
Es a esta conmensurabilidad que Arquímedes alude seguramente cuan
do dice:
Por otra parte, resulta que estos teoremas [referentes a "uñas cilindricas",
etc.] difieren de los hallados precedentemente; pues en aquéllos habíamos
comparado en volumen figuras de conoides... con figuras de conos y ci
lindros; pero ninguna fue hallada equivalente a una figura sólida limitada
por planos... {Método, introd.),
significando "hallada equivalente" seguramente "descrita como equiva
lente".
Analizando estos puntos, seguimos la descripción del proceder de
Arquímedes. En el mismo Método dice:
Considerando que toda esfera es el cuadruplo del cono cuya base es igual
al círculo máximo y cuya altura es igual al radio de la esfera, surgió la
idea de que la superficie de toda esfera equivale a cuatro de sus círculos
máximos; pues se me ocurrió [Ú7uÓXy¡<Í/k^ váp Y¡v] que> puesto que todo
círculo equivale a un triángulo cuya base es igual a la circunferencia del
círculo y cuya altura es igual al radio, toda esfera equivale al cono cuya
base es equivalente a la superficie de la esfera y cuya altura es igual a
su radio. {Método, Nota a la prop. 2).
Determinados así heurísticamente área y volumen de la esfera
queda el problema de establecer rigurosamente que se trata de los
valores correctos. Ello es encarado en Esfera y cilindro, libro I, esen
cialmente en el orden inverso de su descubrimiento, es decir, el área
primero y el volumen después, aunque con intercalaciones.
Para determinar el área es necesario fundamentar mediante postu
lados la teoría de las áreas de superficies convexas no planas, en la
forma expuesta previamente (capítulo I, secc. 3.6). Se determina así
el área lateral de un cono circular recto y de un tronco del mismo (e
incidentalmente del cilindro circular recto) por encerramiento entre
pirámides (prismas), con algún pequeño artificio para salvar la cir
cunstancia de no ser coincidentes los bordes (Esf. y cil., I, Props. 9-16).
Se procede luego a encerrar la superficie esférica entre las super
ficies de revolución engendradas por la rotación alrededor de una dia
gonal común de polígonos regulares de 4n lados inscritos y circunscritos
a un círculo máximo. El área engendrada por cada poligonal resulta
ser igual a la de un círculo tal que el cuadrado construido sobre su
radio es equivalente a un rectángulo que tiene por lados: i) un lado
de la poligonal; ii) la suma de las diagonales del mismo perpendicula
res a la diagonal que sirve de eje de rotación (ibid., Prop. 24). La di
ficultad consiste en que al aumentar n estos lados se hacen respectiva
mente muy pequeño y muy grande. Mediante un artificio (trazado de
diagonales auxiliares y consideración de triángulos semejantes, ibid.
Prop. 21) este rectángulo resulta equivalente a otro, uno de cuyos la
dos es el diámetro de la esfera, mientras el otro, que es menor (mayor)
que el diámetro para los polígonos inscritos (circunscritos), difiere ar- 28 -
�bitrariamente poco de él cuando n crece (en terminología moderna).
Una aplicación de los postulados y del método de exhausción prueba
entonces que la superficie esférica es efectivamente equivalente a cua
tro círculos máximos (Prop. 33). Del mismo modo se determina el área
de cualquier zona esférica (Arquímedes lo hace solamente para cas
quetes, ibid., Props. 42, 43).
Para establecer el volumen de la esfera se utilizan los cuerpos ob
tenidos por la rotación de los polígonos arriba mencionados. Estos
cuerpos inscritos (circunscritos) están contenidos en (contienen) la
esfera, cuyo volumen se halla pues comprendido entre los voliímenes
respectivos. Para hallar éstos, los cuerpos no se descomponen, como
parecería natural a primera vista, en troncos de cono, sino en los vo
lúmenes engendrados por la rotación de los triángulos con bases en
los lados de la poligonal y vértices en el centro. Aquellos dos de estos
cuerpos engendrados por triángulos que están adosados al eje de ro
tación son "rombos sólidos", como los llama Arquímedes, estando for
mados por dos conos rectos circulares pegados por las bases. Cada uno
de los demás cuerpos parciales puede considerarse como diferencia de
dos "rombos sólidos". Arquímedes calcula en general el volumen de
rombos sólidos y combinaciones de los mismos (ibid., Props. 18-20) y
demuestra en definitiva que el volumen total de cada uno de los cuer
pos continentes y contenidos es el de un cono cuya base es equivalente
a la superficie total del cuerpo y cuya altura es la apotema del polí
gono engendrador (ibid., Props. 26, 31). Basándose en la demostración
para las superficies y con un proceso de exhausción, Arquímedes con
cluye que la esfera es equivalente al cono de base equivalente a cuatro
círculos máximos (o sea a la propia superficie esférica) y de altura
igual al radio de la esfera, como se había propuesto demostrar (ibid.,
Prop. 34). Aplicando las relaciones conocidas entre conos y cilindros,
se vuelve a hallar la relación entre la esfera y el cilindro circunscrito
(ibid., Corolario de prop. 34).
Mientras el método heurístico se generalizaba naturalmente a la
determinación del volumen de un segmento esférico, el método de de
mostración recién esbozado se extiende naturalmente a la del volumen
de un sector esférico cualquiera (Arquímedes sólo considera los de un
contorno, correspondientes a los casquetes; ibid., Prop. 44).
Seguimos ahora pasando en revista los pasos que han intervenido
en el proceso:
f)analogía de la relación superficie esférica — esfera — cono
con la relación circunferencia — círculo — triángulo; determinación
heurística del área de la superficie esférica;
g)inversión del orden área — volumen;
h) postulados sobre superficies convexas;
i) elección de los cuerpos aproximantes;
j) área lateral del cono y tronco de cono;
k) cálculo del área de los cuerpos aproximantes y exhausción;
1) descomposición de los cuerpos aproximantes;
m) volumen de los cuerpos aproximantes y exbausción.
- 29 -
�La sucesión de ideas correspondientes al paso f) está claramente
expuesta por el propio Arquímedes en la cita del Método arriba repro
ducida. El propio Arquímedes había establecido el círculo como equi
valente al triángulo de base y altura iguales al perímetro y al radio del
círculo (Medida del círculo, Prop. 1) ; aunque en aquel trabajo no es
pecifica los postulados sobre curvas convexas en que se basa para poder
trabajar con el perímetro del círculo (estos postulados están enuncia
dos en Esfera y cilindro, libro I). La idea de la demostración es anti
gua, se remonta al menos a Antifón el Sofista, quien creía que por
duplicación reiterada del número de lados de un polígono inscrito se
llegaría a la circunferencia, idea que fue ridiculizada por Aristóteles,
entre otros. La demostración de Arquímedes es una formalización de
esa idea mediante el método de exhausción.
Dice, pues, Arquímedes que se le ocurrió una posible analogía
entre el caso del círculo, equivalente al triángulo mencionado, y la
esfera, que sería entonces equivalente al cono que él describe, permi
tiéndole hallar así el valor del área de la superficie esférica en función
del área del círculo máximo, en virtud de la conocida relación entre
conos y cilindros. Esta analogía parece natural y es independiente del
método descrito para hallar el volumen (y probablemente anterior, ver
arriba, paso e)) siendo más probable que surgiera en el curso de las
investigaciones sobre el círculo. Así y todo, Arquímedes no ignoraba
que la generalización por analogía del plano al espacio presentaba
serias dificultades: basta comparar el problema de la duplicación del
cuadrado, trivial, con el de la duplicación del cubo, o la teoría de las
áreas de los polígonos, que se liquida en definitiva por equicomposición (número finito de pasos) y la de los volúmenes de los poliedros,
que aun en el caso más sencillo de la pirámide de tres lados exige un
recurso tan elevado como el método de exhausción (aunque la exis
tencia de tales pirámides equivalentes que no son diferencias de figu
ras equicompuestas ha sido demostrado rigurosamente sólo reciente
mente). Observemos, sin embargo, que esta falta de paralelismo se re
fiere a la posibilidad de ciertas construcciones; la analogía subsiste en
cuanto a los resultados, hecho que debía saltar aún más a la vista en
una época en que la teoría de las proporciones era todavía una adqui
sición reciente. Resulta por tanto explicable el intento de Arquímedes
de explotar esa analogía.
Mediante relaciones conocidas entre cilindros y conos, Arquímedes
transforma la relación hallada entre esfera y cilindro circunscrito de
tal manera que obtiene para la superficie esférica un área igual al de
cuatro veces la de un círculo máximo.
Se plantea ahora el problema de demostrar todo esto rigurosamen
te. ¿Cómo proceder? Una idea que simplificará mucho esa tarea (en
vista de lo que surgirá al discutir el punto 1)) es la de invertir, al menos
provisoriamente, el orden, buscando primeramente una demostración
para el área y tratando de inspirarse en ella para establecer rigurosa
mente el volumen (paso g)). Es probable que Arquímedes haya ata
cado ambos problemas simultáneamente y que lograra resolver pri
meramente el problema relativo a la superficie.
- 30 -
�Una dificultad que entonces se presenta inmediatamente para un
matemático hecho en el formalismo deductivo de los Elementos es la
circunstancia que las áreas de superficies curvas no están definidas, no
habiendo por tanto procedimiento riguroso que valga para determi
narlas. El problema análogo para líneas curvas —dramatizado por la
idea de Antifón— señalaba aquí también el camino. Posiblemente fue
ra Arquímedes el primero en formular los postulados correspondientes,
limitándose, con un tino que sólo en nuestra época podemos apreciar
plenamente, a los arcos convexos; {Esf. y di., I, postulados 1, 2). No
es imposible que la formulación primitiva de estos postulados se refi
riera solamente a la comparación de curvas con poligonales, lo cual hu
biera sido suficiente para las aplicaciones; la formulación definitiva,
que incluye el Postulado 2, provendría entonces de una analogía con
los postulados que es necesario exigir para superficies, como ahora ve
remos. Arquímedes emprende entonces la formulación de estos líltimos, siendo probablemente el primero en definir una superficie con
vexa; esta definición no está limitada a lo que llamaríamos hoy su
perficie "estrictamente convexa", permitiendo así la aplicación de los
postulados a la superficie lateral de un cono o de un cilindro (ibid.,
Definición 4). Los postulados, ya mencionados previamente, son el 3
y 4 del referido trabajo (paso h)). Posiblemente una primera idea
fuese la de comparar las superficies con superficies poliédricas; en este
caso, sin embargo, los intentos de demostración (ver abajo) deben^
haber señalado la necesidad de utilizar superficies de comparación cur
vas. La formulación útil y la concisión de estos postulados nos muestran
a Arquímedes como tan experto en la organización de un sistema de
ductivo como hábil para darle una forma elegante y económica.
La analogía con la circunferencia impone entonces hallar el área
de la superficie esférica como comprendida entre las áreas de super
ficies convexas continentes y contenidas. Continuando ingenuamente la
analogía con el caso de la circunferencia cabría pensar en poliedros
como superficies aproximantes. Los intentos en este sentido quizá ante
daten a Arquímedes (aunque refiriéndose al volumen), pero debían
conducir al fracaso. En efecto, mientras existen polígonos regulares de
un número arbitrariamente grande de lados, era sabido de tiempos de
los pitagóricos que los poliedros regulares son exactamente cinco, no
pudiendo servir, por tanto, para el fin propuesto, y no habiendo nin
gún procedimiento sustitutivo sencillo para una construcción canónica
de poliedros aproximantes. (¿Sería quizá en un intento de proveer una
tal construcción que Arquímedes descubrió los poliedros semirregulares?) Arquímedes sale de la dificultad guiándose en una analogía algo
más sutil con el caso de la circunferencia; quizá la consideración para
lela del problema del volumen llevase más naturalmente aún al méto
do elgido. En efecto, la esfera puede considerarse como engendrada por
la rotación de un círculo alrededor de un diámetro (es la definición
de Euclides). Encarada así la figura, nada más natural que aproximar
la esfera haciendo girar en la misma forma polígonos regulares ^^^
aproximan el círculo (paso i)). Los cuerpos aproximantes que r^nit-. ü LA
tan se componen prima facie de conos y troncos de conos; el volumen
- 31 -
y
�de tales figuras era conocido. Por otra parte estos cuerpos son convexos
y sus superficies sirven por tanto para ser comparadas con la superficie
esférica. Este es el camino que ha de llevar finalmente al éxito.
Respecto de las superficies queda una laguna a llenar; se trata de
la determinación del área lateral del cono y del tronco de cono circu
lares rectos. Del análisis de su obra no resulta si Arquímedes encaró
este problema con anterioridad al de la esfera. Se trata o|e la primera
determinación rigurosa del área de una superficie curva, aunque pro
bablemente los valores de esas áreas eran conocidas intuitivamente,
(seguramente en el caso del cilindro, al menos), por ser las superfi
cies desarrollables a figuras planas sencillas. La demostración rigurosa
procede, como ya se ha descrito, por comparación con pirámides y uso
de los nuevos postulados y del método de exhausción, así como de un
artificio del mismo tipo de ese proceso para salvar la no coincidencia
de los bordes de las superficies a comparar (paso j)). Una idea origi
nal la constituye el expresar el resultado como área de un círculo, cuyo
radio resulta, en el caso del cono, expresable como media proporcio
nal entre radio de la base y generatriz. Se evita así la cuadratura del
círculo y se formula el resultado en una forma útil para las aplicacio
nes: en efecto, las superficies aproximantes aparecen como equivalen
tes a sumas de círculos, que pueden transformarse de manera conocida
en círculos únicos.
El paso siguiente (k)), que consiste en determinar esas áreas de
los cuerpos aproximantes conduce, como ya fue explicado, a un círculo
cuyo radio es media proporcional entre una magnitud muy pequeña
y otra muy grande cuando el polígono engendrador tiene muchos la
dos. El artificio que permite sustituir estas dos magnitudes por una
constante (diámetro de la esfera) y otra que se aproxima a ella es de
una sencillez sorprendente. Sin embargo no se sale del cuadro de las
múltiples e ingeniosísimas construcciones típicas del virtuosismo técni
co de los buenos geómetras de la época. Además, Arquímedes tenía la
ventaja de conocer el resultado previamente, lo cual lo pudo orientar
en la elección en el diagrama de las líneas sustitutivas. El resto es una
aplicación de rutina del método de exhausción.
Pasamos ahora al problema del volumen. La elección de los cuer
pos aproximantes ya dependía probablemente de la consideración de
las figuras sólidas. Es cierto que los volúmenes de conos y troncos de
cono eran conocidos, permitiendo así el cálculo del volumen de los
cuerpos aproximantes; quiere decir que el problema se reduciría a
esta altura a un manejo hábil de la teoría de proporciones y de la apli
cación de áreas, completado por una exhausción. Quizá Arquímedes
baya emprendido esta vía, encontrando complicaciones que sugirieron
la conveniencia de buscar algún artificio que simplificara el cálculo.
Es así como descompone el cuerpo aproximante, no en tajadas perpen
diculares al eje de rotación, sino en cuerpos a primera vista mucho
más complicados, engendrados por la rotación de los triángulos con
vértices en el centro en que se descompone el polígono (paso 1)).
Abandona así la descomposición sugerida por el primer razonamiento
heurístico. ¿Qué condujo a la consideración de esta nueva descompo^
- 32 -
�sición? Puede pensarse que se trata de dos ideas, que en realidad pro
vienen de una misma fuente: por un lado tenemos la aproximación
del área de un círculo por polígonos regulares, cuyas áreas se expresan,
como en Medida del círculo, mediante descomposición en triángulos
con el vértice en el centro, como áreas de triángulos con base y altura
iguales a perímetro y apotema respectivamente; ya que el cuerpo apro
ximante se obtuvo por rotación de un polígono aproximante del círcu
lo máximo, puede encararse la descomposición que discutimos como ob
tenida por rotación de la utilizada en el caso del círculo; por otra
parte, la analogía del círculo había llevado a concebir el volumen de
la esfera como el de un cono con base y altura equivalentes a super
ficie y radio de la esfera, respectivamente, de modo que resulta intui
tivamente natural la búsqueda de una aproximación del volumen de la
esfera mediante cuerpos, del tipo del cono, con un vértice en el centro
y una base que aproxime la superficie esférica; la descomposición dis
cutida no hace sino formalizar esa idea. Es muy posible que ideas de
ese tipo indujeran a Arquímedes a estudiar esta descomposición par
ticular y verificar que permitía una determinación mucho más sencilla
del volumen.
El paso siguiente, la determinación del volumen de los "rombos
sólidos" (paso m)), procede enteramente en vista de su aplicación al
problema principal. En efecto, el volumen de un "rombo sólido" consi
derado por sí, se expresa mucho más naturalmente como volumen de
un cono de misma base, y altura igual a las alturas combinadas de los
conos que constituyen el "rombo"; Arquímedes, en cambio, lo expresa
equivalentemente como un cono de base equivalente a la superficie
latral de uno de los conos parciales y altura igual a la perpendicular
trazada desde el vértice del otro cono a aquella superficie lateral o su
prolongación. En la sencillez de este resultado está la clave formal del
éxito de la nueva descomposición de los cuerpos aproximantes: resultan
en efecto equivalentes a conos de base y altura equivalentes a la super
ficie total (conocida) del cuerpo aproximante y a la apotema del po
lígono engendrador, respectivamente. El resto se liquida, como ante
riormente, mediante una aplicación de rutina del método de exhausción.
Terminado este análisis, cabe preguntarse finalmente cuánto tiem
po insumieron, o al menos abarcaron, las investigaciones que llevaron
a los resultados discutidos. Una indicación aproximada la podemos re
coger de ciertas observaciones en los prefacios de las obras. Combi
nando referencias en Cuadratura de la parábola, Esfera y cilindro
(ambos libros), Conoides y esferoides, Espirales, relativas al orden en
que estos trabajos fueron comunicados a Dositeo, al tiempo transcurri
do desde la muerte de Conon y al descubrimiento más o menos recien
te de los resultados contenidos en los trabajos, se concluiría que la in
vestigación objeto de nuestro análisis fue completada en el curso de
muy pocos años.
El proceso que lleva al descubrimiento, primero, y a la demos
tración rigurosa, después, de estos resultados, con sus múltiples puntos
delicados, sus métodos nuevos, sus nuevos conceptos y postulados, sur
ge con bastante nitidez de los textos, de modo que en un análisis como
- 33 -
�el que hemos realizado hay muy pocos pasos en que no se posee la
guía segura, si no la corroboración textual, en los propios trabajos de
Arquímedes. Métodos de Matemática Aplicada, razonamientos heurís
ticos, la teoría de superficies convexas aparecen en algunas de sus pri
meras aplicaciones, formando con una multitud de ideas creadoras me
nores y con un dominio absoluto de los métodos más poderosos ya co
nocidos un conjunto impresionante, más aún si se considera que repre
senta una fracción de la obra de Arquímedes, y más elocuente acerca
de su poderosa originalidad y versatilidad que cualquier comentario
que al respecto pudiéramos agregar.
4.
La forma de exposición
En el trabajo científico hay, al lado de la investigación propiamen
te dicha, un aspecto complementario, referente a la formulación, expo
sición y eventual publicación de lo hallado. La importancia de este
aspecto es particular y reconocidamente grande en Matemática, no sólo
por la razón obvia de que una exposición clara, ordenada y amena es
un mejor vehículo para la transmisión del conocimiento; es notorio,
en efecto, que quien expone más claramente piensa más claramente
también, siendo lo primero no sin influencia sobre lo segundo. En la
Matemática, aún más que en otras disciplinas científicas, este argu
mento es poderoso, adquiriendo aun una modalidad nueva y más pro
funda, que los matemáticos suelen llamar "elegancia". Poincaré [13],
en Uinvention mathématique, la considera de capital importancia in
cluso como.criterio en el trabajo subconsciente de selección que inter
viene en el proceso creador. Se trata de algo que es más que una mera
preocupación estética, aun cuando adquiera subjetivamente ese ca
rácter.:
Es cierto que algunos de los más importantes adelantos en la Ma
temática han sido expuestos en una forma oscura y poco elegante; la
experiencia prueba, sin embargo, que las más veces estos adelantos no
han fructificado plenamente antes de ser vertidos en una forma más
clara y hallar lo que los matemáticos a veces se complacen en llamar
"el contexto natural".
Arquímedes combina las dotes de un investigador privilegiado, co
mo hemos tenido oportunidad de analizar, con las de un brillante ex
positor, de una elegancia pocas veces igualada.
Las obras fundamentales (omitimos trabajos incidentales, con es
tilo propio, como el Arenario) son de dos tipos. Algunos tienen más
bien la forma de tratados, en particular Equilibrios planos y Cuerpos
flotantes. Lo que distingue estas obras es que se trata de la exposición
de teorías completamente nuevas. Las demás obras tienen la forma de
comunicaciones de Arquímedes a sus colegas, exponiendo la resolución
de ciertos problemas más o menos particulares. La distinción, en lo que
a la forma se refiere, no es sin embargo muy profunda. Como ya he
mos tenido ocasión de exponer, los tratados mencionados culminan con
el estudio de problemas seleccionados que evidencian el dominio que
Arquímedes tenía de los nuevos conceptos. Por ello estos tratados dis- 34 -
�tan mucho de asemejarse en el estilo a los de Euelides o de Apolonio.
Arquímedes no tenía, evidentemente, el espíritu de compilador metó
dico de resultados, o al menos su intensa ocupación con sus investiga
ciones originales, fruto de sus vastísimos intereses, no le dejaba el tiem
po necesario, lo cual quizá haya contribuido a que sus obras no tuvie
ran una difusión apreciable.
En otro sentido también, los tratados mencionados se asqmejan a
las comunicaciones a sus colegas. Hay en ambos tipos de trabajo la
misma preocupación por la elegancia y la formulación acabada que
muestra que había dedicado a ambos tipos de obra el mismo cuidado
en la redacción.
No debemos creer, sin embargo, que Arquímedes no comunicara
algunos aspectos de sus investigaciones de un modo más informal. Prue
ba de ello es, por lo pronto, el Método que, al menos en la opinión de
Arquímedes, era un esbozo cuyo objeto era estimular a otros en el
descubrimiento de resultados. Por otra parte, tenemos el testimonio
de las introducciones dirigidas a Dositeo y a Eratóstenes en el sentido
de que Arquímedes solía comunicar enunciados de teoremas a demos
trar a sus colegas (en particular a Conon) :
No te sorprendas, sin embargo, de que haya tardado en publicar las de
mostraciones de estos teoremas [que había enviado a Conon]; en efecto,
quise presentarlos primero a matemáticos expertos que preferían buscarlas
por su cuenta. (Espirales, introd.).
Te he transmitido previamente por escrito los enunciados de teoremas que
he hallado, encomendándote de encontrar las demostraciones, que yo toda
vía no había dado. (Método, introd.).
En la introducción de Espirales refiere a Dositeo que incluso al
gunos de los resultados previamente comunicados (en una comunica
ción que no se ha conservado) eran falsos. No es sorprendente que,
desde el punto de vista de los que nos han transmitido las obras de
Arquímedes, sólo aquellas que contenían una exposición definitiva pa
recían dignas de ser conservadas. La preocupación por un conocimien
to de los métodos de investigación como medio de estimular la misma
es muy reciente —si exceptuamos, quizá, el Método del propio Arquí
medes; durante muchos siglos cedió el lugar al deleite ante el resultado
perfectamente deducido sin la mínima indicación de cómo se había
llegado a él, en una forma que habría hecho honor a la apreciación
que Wallis hiciera de los matemáticos de la antigüedad, reproducida
previamente; sabemos hoy, gracias al Método, que respecto de Arquí
medes es injusta.
Lo que antecede no obsta para que, en las más clásicas de sus obras,
Arquímedes exponga sus razonamientos en el mejor estilo sintético
de la época, presentando una sucesión implacable de resultados, auxi
liares o fundamentales, sin comentarios. A estos trabajos es todavía
plenamente aplicable la opinión de Heath:
One feature which will probably most impress the mathematician ... is the
deliberation with which Archimedes approaches the solution of any one of
his main problems. ... the method suggests the tactics of some great
strategist who foresees overything, eliminates everything not iinmediately
- 35 -
�conducive to the execution of his plan, masters every position in its order,
and then suddenly (when the very elaboration of the scheme has almost
obscured, in the mind of the spectator, its ultímate object) strikes the
final blow. Thus we read in Archimedes proposition after proposition the
bearing of which is not immediately obvious but which we find infallibly
used later on. ([5], p. vi).
En cambio no puede de ninguna manera acompañarse a Plutarco
cuando éste dice que el lector queda persuadido por la 'facilidad de
los pasos sucesivos de que cualquiera podría haberlos descubierto.
Creemos que el análisis hecho en la sección precedente es harto elo
cuente al respecto.
Si consideramos más particularmente el estilo de esas obras, halla
mos en él la lucidez y concisión unidas a la variedad que son carac
terísticas de quien escribe sus propios pensamientos y piensa clara
mente. Es probable que el estilo resultara todavía más fluido para lec
tores contemporáneos, hechos en el estilo de los Elementos, que para
nosotros (aparte de una casi inevitable tendencia hacia un tono solem
ne en las traducciones de los idiomas clásicos, felizmente poco aparen
te en [3]). Aun en el grueso de los trabajos, por ejemplo en las defi
niciones y en los postulados, se observa la nota personal, más evidente
en las introducciones y en el Método y el Arenario; Arquímedes no
vacila en hablar en primera persona, haciéndolo en particular cuando
introduce ideas nuevas (p. ej. Esf. y cil., I, Definiciones) ; todo lo cual
contribuye a acercar la obra al lector y a compensar en cierta me
dida la densidad de los desarrollos expuestos. Al leer las obras de mu
chos autores considerablemente más recientes, el matemático de nues
tros días tiene buenas razones para lamentarse de que no hayan, al
menos en la elección de su estilo, tomado a Arquímedes como ejemplo.
5.
Matemática y formalismo
Una de las condiciones principales que se exigen de toda obra ma
temática es que satisfaga ciertos requisitos de rigor lógico. El concepto
que de la naturaleza de esos requisitos se ha tenido en diversas épocas
y según diferentes escuelas es muy variado.
En la época de Arquímedes la norma en este sentido había sido
tipificada en los Elementos de Euclides: a partir de definiciones y pos
tulados, complementados por ^osvat svvocat ("lugares comunes" = axio
mas) siguen los teoremas y las construcciones de los problemas median
te silogismos rigurosos en forma de modus ponens o modus tollens
(reductio ad absurdum). Mientras los axiomas se tenían por verdades
absolutas, la forma de enunciar las definiciones y los postulados im
plicaría que se trataba de convenciones. Este punto de vista se aproxi
maría mucho del nuestro, pero no parece describir fielmente el con
cepto que en la época se tenía de esas nociones. Sucintamente, el con
texto de las mismas tanto en Euclides como en Arquímedes indicaría
que para ellos se trataba de una codificación y una nomenclatura
de propiedades de entes realmente existentes, interesando que todas
las propiedades pudiesen obtenerse deductivamente de un número res
tringido de ellas. Aparte de la propia formulación de las definiciones
- 36 -
�y los postulados por Arquímedes, tenemos una referencia directa acer
ca de su opinión al respecto, al menos si nos atenemos a la interpre
tación de Heath, quien traduce "auT^ tyj <púaet Tcpou^rjpx^v Trepe xa
etpY¡¡jLéva ^y-r^ccza" por "Now these properties were all along naturally
inherent in the figures referred to." (Esf. y cil., I, introd., [5], p. 1).
Otro argumento en este sentido lo constituye el hecho que en la Cua
dratura de la parábola Arquímedes expone demostraciones basadas en
postulados diferentes (mecánicos y geométricos) sin dar a entender,
aun implícitamente, que la coincidencia de los resultados es otra cosa
que el hecho de tratarse de un mismo objeto. Acerca del concepto que
Arquímedes tenía del "postulado de Arquímedes", propiamente debi
do con seguridad a Eudoxo, nada mejor que citar sus propias palabras:
Los geómetras que nos precedieron han usado igualmente este lema; pues
lo han utilizado para demostrar que la razón de círculos entre sí es la
misma que la de los cuadrados sobre sus radios ..: Ahora bien, sucede que
los diversos teoremas que acabamos de mencionar no son considerados como
menos verdaderos que los que han sido demostrados sin ese lema, y me
bastará que los que ahora publico sean tratados con el mismo grado de
certidumbre. (Cuadratura par., introd.) .
Por lo demás, Arquímedes usa en todas sus obras, con excepción
del Método, la lógica deductiva de manera rigurosa. (Algunos han que
rido ver una petición de principio en Equilibrios planos, I, Prop. 7 (ver
[2]), pero un examen cuidadoso de la cuestión indica que los postula
dos están correctamente aplicados.) En cuanto a las definiciones y
postulados en sí, suelen estar elegidos con gran habilidad, como ya tu
vimos ocasión de observar varias veces. Es cierto que algún postulado,
p. ej. acerca de la recta, puede parecemos hoy algo inepto, y falta una
definición, como nosotros la entendemos, de tales cosas como "línea"
o "superficie"; pero en conjunto se observa una perspicacia lógica que
sólo desde hace poco más de un siglo ha sido definitivamente alcanza
da y superada.
En algunos círculos científico-filosóficos de la época, sin embar
go, la preocupación por el rigor había ido más lejos. Hay una co
rriente de pensamiento asociada al nombre de Platón y al de su es
cuela, e indirectamente a los pitagóricos, que pretendía limitar los re
cursos de la Matemática a ciertas estructuras canónicas: en esta cate
goría cae tanto la restricción primitiva a razones conmensurables, como
la posterior al uso de la regla y del compás en las construcciones geo
métricas. La primera limitación fue abandonada al introducir Eudoxo
la teoría de las proporciones. En cuanto a la segunda, parece reflejarse
aún en ciertas nomenclaturas de lugares geométricos y problemas, cues
tión ampliamente discutida en Heath [5], pp. cxxxiii-cxli. Es proba
ble, sin embargo, que su predominancia en la Matemática propiamente
dicha (a diferencia de la Filosofía) haya sido fuertemente exagerada.
Desde el pitagórico Arquitas encontramos a prácticamente todos los
grandes matemáticos, Eudoxo, Menecmo, Eratóstenes, Apolonio, Nicomedes, Herón, Filón, Diocles, Pappus, etc. (según Eutocio, comentario
a Esfera y cilindrio, II) ocupándose del problema de las dos medias
proporcionales por métodos a cuál más heterodoxo desde el punto de
- 37 -
�vista de aquella escuela, sin que falte incluso una solución atribuida
al propio Platón. Hipias, Dinostrato, Nicomedes utilizan la cuadratriz
para construcciones geométricas, y las construcciones por ^z^g:c,
eran de uso diario.
Arquímedes usa, sin una palabra de excusa, métodos de estática
en geometría pura, y si no inventó un procedimiento de son crü para
resolver el problema de las dos medias proporcionales es seguramente
porque no tenía nada que objetar al de Menecmo; generalizó este
último, como vimos, y las ve'Jaet^, si bien no abundan en su obra, no
le causan un instante de vacilación. Lo que sí puede decirse es que
existía en él, como en los otros matemáticos, la preocupación de no
usar otros métodos que la construcción por regla y compás cuando ésta
fuese posible. Testimonio de ello es el hecho que no conocemos una
sola excepción a esta norma, al menos en las obras que nos han llegado.
Resumiendo, diremos que Arquímedes, como presumiblemente sus pre
decesores, consideró las construcciones que no se reducían al uso de la
regla y del compás como de carácter superior, por lo que un criterio
de economía y de estética imponía el usarlas sólo cuando resultase im
prescindible.
6.
La Matemática Aplicada
Todos los documentos que poseemos acerca de la Matemática en
Egipto y Mesopotamia nos indican que los problemas tratados eran al
menos enunciados como problemas concretos, referentes frecuentemen
te a medidas de campos, cálculo de estructuras geométricas o, en sus
ramificaciones más adelantadas, a la descripción de los movimientos de
los astros. La Matemática se nos aparece así en sus albores como una
forma primitiva (aunque a veces bastante ingeniosa técnicamente) de
Matemática Aplicada. Con la eclosión del movimiento científico-filosó
fico en Grecia con Tales, hay un cambio radical de actitud. La Mate
mática es considerada como disciplina propia, culminando esta evolu
ción cultural con las ideas de Platón sobre el papel de la Matemática
en la formación espiritual de las sociedades, simbolizada en la versión
que le atribuye el uso de la frase ^v.^tiú^.ÍT^r^oc, [JLYjd^^^ etaíW.
Es claro que seguía aplicándose la Matemática elemental a la me
dición de campos y la construcción de graneros y a otros mil usos de
la vida diaria. Salvo en Astronomía, sin embargo, donde se produjeron
progresos enormes, debidos en buena parte a matemáticos ilustres como
Eudoxo y Aristarco, no hubo un esfuerzo sistemático de aplicar las nue
vas adquisiciones teóricas a problemas físicos. No es éste el lugar para
discutir los aspectos sociales, económicos y culturales que se han in
vocado para explicar este fenómeno, ni el desarrollo restringido de
las ciencias físicas en general. Se trata seguramente de un problema
muy complejo, difícilmente reducible a fórmulas sencillas. Lo cierto
es que, salvo prueba en contrario, y siempre exceptuando la Astrono
mía, las obras de Arquímedes en Estática e Hidrostática teóricas re
presentan las primeras contribuciones sistemáticas a una verdadera
Matemática Aplicada en el sentido que todavía le atribuimos hoy.
- 38 -
�Es interesante observar que, luego de siglos y milenios de uso de
palancas y de construcción de naves, fue un matemático que, según
las referencias, era el prototipo del especulador teórico, quien concibió
la idea de estructurar una teoría lógico-deductiva a base de postulados
para describir tales fenómenos, y ello después de un par de siglos de
divorcio entre Matemática y Física y de progresiva abstracción en los
desarrollos de la primera.
Lamentablemente no poseemos indicios de lo que movió a
Arquímedes a ocuparse de tales problemas. El único nexo tradicional
se referiría a su Arte de hacer esferas, relativo a un perfeccionamiento
de las esferas celestes que se originaron con Tales.
Fuesen cuales fuesen los motivos, el resultado es sorprendente. Las
teorías no son meros esbozos vacilantes, sino que, no contento con de
linear magistralmente en un par de trazos los principios centrales (prin
cipio de la palanca, Principio de Arquímedes), investiga a fondo pro
blemas por cierto no triviales, demostrando, como ya lo observamos,
un dominio conceptual absoluto de los nuevos desarrollos y mo^tran
do su alcance teórico.
Es más: las teorías, apenas elaboradas, parecen haber servido de
inmediato no sólo para explicar el funcionamiento de mecanismos co
nocidos sino para inventar multitud de nuevos. Entre ellos se cuentan
sus inventos mecánicos para mover grandes masas y sus máquinas de
guerra. También su Hidrostática encontró aplicaciones: aunque es casi
seguro que no era el "Principio de Arquímedes" lo que éste usó con
motivo del famoso problema de la corona, el procedimiento —por otra
parte más sencillo— que surge del relato de Vitruvio nos muestra nue
vamente la capacidad de utilizar las recientes adquisiciones teóricas
—el concepto de densidad relativa— a un problema cuantitativo.
Las anécdotas contradictorias acerca de la mentalidad especulati
va de Arquímedes y su desprecio por las "artes de la vida común" por
una parte y las demostraciones públicas de sus inventos por otra pue
den conciliarse si comprendemos que éstos no eran sino el fruto y la
confirmación de los desarrollos teóricos. De haber sido realmente pro
nunciada, fue con una referencia seguramente más directa a sus teo
rías que a los mecanismos más particulares que inventó que Arquíme
des dijo la célebre frase "^a ^w xas xcv¿> xáv ^áv".
7.
Conclusión
Hemos analizado en las diversas secciones de este capítulo algunos
aspectos de la personalidad de Arquímedes como hombre de ciencia.
De ese análisis surge la impresión de una personalidad que nos es sor
prendentemente cercana en su modalidad de científico. Investigador
nato, con una curiosidad muy directa por problemas ya planteados, al
gunos de los cuales resuelve brillantemente, y constante formulado^
de problemas nuevos, nos muestra en sus obras un dominio cierto de
los recursos más finos de la Matemática de su época, una gran perspi
cacia en el manejo de su formalismo y una riqueza de conceptos com
parable con la de su gran predecesor Eudoxo. Con su Método enuncia
- 39 -
�por primera vez un razonamiento heurístico, reconociéndolo como tal —
y pasarán siglos antes de que esta idea fructifique nuevamente. Crea,
por así decir de la nada, las primeras teorías de la Matemática Apli
cada, y las convierte de inmediato en fuente de aplicaciones prácticas
de gran utilidad. Aun en las obras de menor envergadura nos da am
plia evidencia de su espíritu inquieto, interesado en los mínimos deta
lles, para dilucidar los cuales se detiene con evidente gqsto. Es final
mente un expositor lúcido, intensamente personal, aun cuando no po
see ningún tratado comparable a los Elementos o a las Cónicas.
Es extremadamente lamentable que Arquímedes no baya tenido
verdaderos discípulos. Por idiosincrasia, al parecer, sus investigaciones
lo absorbían de tal manera que nunca encontró la ocasión de aplicar su
evidente capacidad por la redacción expositiva clara a la elaboración
y pulido de grandes teorías completas al modo de Apolonio y del gran
aTOi^Kú^^q. A estas dos circunstancias se debe probablemente en bue
na parte que sus obras hayan tenido muy poca difusión y que las ideas
más originales que hoy conocemos de él tuvieran que esperar un azar
para llegar a nosotros.
Por su poderosa originalidad, por su vastísimo campo de interés,
que desbordaba de la Matemática pura, por su muy amplia contribu
ción al desarrollo de toda la Matemática puede comparársele con los
investigadores más ilustres hasta nuestros días; y, concordando con quie
nes lo colocan a la altura de quizá el más grande de todos, atribuírsele
sin exageración el calificativo de ''''princeps mathematicorum de la
Antigüedad".
- 40 -
�BIBLIOGRAFÍA
[1] Amthor, Zeitschrijt für Math. und Physik (hist. - litt. Abth.). 25, 133 ss (1880).
[2] A. Czwalina, (notas a la traducción al alemán de Equilibrios planos). OstwaMs
Klassiker der exakten Wissenschaften.
[3] Paul ver Eecke, Les oeuvres completes d' Archiméde. Desclée, de Brouwer 8c Co.
Paris, 1921.
[4] Jacques Hadamard, An essay on The Psychology of Invention in the Mathematical Field. Princeton University Press, Princeton 1949.
[5] Sir Thomas Little Heath, The works of Archimedes, edited in modern notation
with introductory chapters. University Press, Cambridge 1897.
[6] Sir Thomas Little Heath, A History of Greek Mathematics. 1921 (2 vol.).
[7J Sir Thomas Lítele Heath, A Manual of Grcek Mathematics. Clarendon Press,
Oxford 1931.
[8] Johann Ludwic Hf.ibfrg, Quaestiones Archimedeae. Copenhague 1879.
[9] Johann Ludwig Heiberg, Archimedis opera omnia, cum commentariis Eutocii,
edidil et latine vertit J. L. H., Teubner, Leipzig 1880, (3 vol.).
[10] Johann Ludwig Heiberg, Archimedis opera omnia, cum commentariis Eutocii,
iterum edidit J. L. H., Teubner, Leipzig 1913-1915 (3 vol.).
[11] Friedrich Hultsch, Archimedes. Real-Enzyklopádie der klassischen Altertumswissenschaft, v. Pauly-Wissowa, Stuttgart 1894- (vol. II 1, pp .507-539, 1895).
[12] Krumbiegel, Zeitschrift für Math. und Physik (hist. - litt. Abth.) 25, 121153 (1880).
[13] Henri Poincaré, Science et Méthode. Flammarion, Paris, 1920.
[14] Bartel Lf.endert van der Waerdf.n, Ontwakende Wetenschap. Egyptische, Babylonische en Griekse Wiskunde. P. Noordhoff, Groningen 1950. (English
translation: Science Awakening. P. Noordhoff, Groningen 1954).
[15] Bartel Leendfrt van der Waerden, Einfall und Überlegung. Birkháuser, Basel
1954. (Elemente der Math., 8/6, 9/1, 9/3).
- 41 -
�02(091);513
Arq
Scha
Este trabajo se publica simultáneamente en el N<? 16 de la Revista de la Facultad
de Humanidades y Ciencias.
�
Dublin Core
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Title
A name given to the resource
Biblioteca Virtual de Humanidades en el Uruguay
Subject
The topic of the resource
Repositorio de ensayos en las Humanidades publicados originalmente en el Uruguay
Description
An account of the resource
<p><span>La Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación se ha propuesto contribuir a rescatar y poner a disposición de los lectores la escritura ensayística del Uruguay a lo largo de su historia. Esta Biblioteca Virtual de Humanidades en el Uruguay pretende reunir en un solo lugar más de dos siglos de textos de reflexión y pensamiento, dentro del amplio campo de las humanidades, producidos en conexión con la universidad. La mayor parte de esos textos han sido originalmente publicados en revistas universitarias o periódicos hoy difícilmente accesibles. A menudo nunca recogidos luego en libro—o recogidos con sustanciales modificaciones—, son textos que pueden contribuir a recuperar y mostrar las dinámicas de pensamiento y representación en el país, tal como se realizaron en tiempos de centralidad de la escritura.<br /><br /></span>La a veces fina y sinuosa línea entre Humanidades y Ciencias Sociales hace que textos de historia económica, de estudios sociales, de ciencia aplicada a la antropología, puedan tener cabida en esta colección, aunque el foco está en el núcleo tradicional de las humanidades. El Derecho (con la excepción de Filosofía del Derecho) queda, por su especificidad técnica y profesional, por el momento fuera de este grupo. </p>
<p>La colección será un trabajo acumulativo, con entregas bimensuales. En el tiempo, los textos se irán organizando de acuerdo a posibles lecturas de la historia de las ideas en la región y el continente. <br /><br />Aldo Mazzucchelli</p>
<p><span>15 de octubre de 2017</span></p>
Contributor
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Pablo Darriulat
Gonzalo Marín
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La personalidad de Arquímedes
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SCHÄFFER, Juan Jorge
Source
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La personalidad de Arquímedes /Juan Jorge Schäffer..
Montevideo : FHC, 1958.. 41 p.
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Date
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1958
Rights
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Language
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Español
Type
The nature or genre of the resource
Libro
ARQUIMEDES ?-212 a. C.
FISICA
MATEMATICA
MATEMATICOS GRIEGOS